给你两个正整数序列 \(a_1, \ldots, a_n\) 和 \(b_1, \ldots, b_m\) 。求每个 \(j = 1, \ldots, m\) 的最大公约数 \(a_1 + b_j, \ldots, a_n + b_j\) 。
输入
第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\) （ \(1 \leq n, m \leq 2 \cdot 10^5\) ）。
第二行包含 \(n\) 个整数 \(a_1, \ldots, a_n\) （ \(1 \leq a_i \leq 10^{18})\) .
第三行包含 \(m\) 个整数 \(b_1, \ldots, b_m\) （ \(1 \leq b_j \leq 10^{18})\) 。
输出
打印 \(m\) 个整数。其中的 \(j\) -th 应该等于 GCD \((a_1 + b_j, \ldots, a_n + b_j)\) .
题解
根据 GCD 的基本性质，我们知道 \(GCD(x, y) = GCD(x - y, y)\) 。多个参数也是如此： \(GCD(x, y, z, \ldots) = GCD(x - y, y, z, \ldots)\) .我们将其用于 \(GCD(a_1 + b_j, \ldots, a_n + b_j)\) 并从所有其他参数中减去 \(a_1 + b_j\) ： \(GCD(a_1 + b_j, \ldots, a_n + b_j) = GCD(a_1 + b_j, a_2 - a_1, \ldots, a_n - a_1)\) .
如果我们找到 \(G = GCD(a_2 - a_1, \ldots, a_n - a_1)\) ，那么任何答案都可以找到 \(GCD(a_1 + b_j, G)\) 。需要注意的是，我们必须假设空集的 GCD 是 \(0\) ，而对于任意 \(x\) 都是 \(GCD(x, 0) = x\) ，因为 \(0\) 是唯一能被任何其他数整除的数。
AC code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
inline i64 gcd(i64 x, i64 y)
{
return y == 0 ? x: gcd(y, x % y);
}
int main()
{
i64 n, m;
std::ios::sync_with_stdio(0);
std::cin.tie(0);
std::cin >> n >> m;
vector<i64> a(n + 1), b(m + 1), c(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
std::cin >> a[i];
}
for (int j = 1; j <= m; j++)
std::cin >> b[j];
i64 x = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
x = gcd(x, a[i]-a[1]);
}
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
i64 t = gcd(x, a[1] + b[i]);
std::cout << abs(t) << (i == m ? '\n' : ' ');
}
return 0;
}
-
反思 gcd求最大公约数具有内部可随意减的性质,可以利用这个性质来完成转化,但是如果是随意减的话得出的gcd 可能是最大公约数的相反数!!!
宏定义的妙用
#include<bits/stdc++.h>
#ifndef ONLINE_JUDGE
#include<time.h>
#endif
using i64 = long long;
i64 M,D;
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
time_t a=clock();
#endif
#ifdef ONLINE_JUDGE
std::ios::sync_with_stdio(0);
std::cin.tie(0);
#endif
std::cin>>M>>D;
#ifndef ONLINE_JUDGE
std::cout<<clock()-a<<"ms\n";
#endif
return 0;
}
LCM Challenge
题面翻译
找到3个不超过n的正整数（可以相同），使得它们的lcm（最小公倍数）最大。输出最大的lcm
题目描述
Some days ago, I learned the concept of LCM (least common multiple). I've played with it for several times and I want to make a big number with it.
But I also don't want to use many numbers, so I'll choose three positive integers (they don't have to be distinct) which are not greater than $ n $ . Can you help me to find the maximum possible least common multiple of these three integers?
输入格式
The first line contains an integer $ n $ ( $ 1<=n<=10^{6} $ ) — the $ n $ mentioned in the statement.
输出格式
Print a single integer — the maximum possible LCM of three not necessarily distinct positive integers that are not greater than $ n $ .
样例 #1
样例输入 #1
9
样例输出 #1
504
样例 #2
样例输入 #2
7
样例输出 #2
210
提示
The least common multiple of some positive integers is the least positive integer which is multiple for each of them.
The result may become very large, 32-bit integer won't be enough. So using 64-bit integers is recommended.
For the last example, we can chose numbers $ 7 $ , $ 6 $ , $ 5 $ and the LCM of them is $ 7·6·5=210 $ . It is the maximum value we can get.
- 这题是一道思维题，结合了一部分基本数论知识，如果 \(n\) 为奇数则三个数互质，否则它们的最小公倍数的就是他们三个数的乘积除以最小公倍数 \(2\) ，所以这里如果n是偶数的话，如果\(gcd(n,n-3)==1\),选择\(n \cdot (n-1) \cdot (n-3)\) ,否则就选择\((n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\)
【模板】字符串哈希
题目描述
如题，给定 \(N\) 个字符串（第 \(i\) 个字符串长度为 \(M_i\)，字符串内包含数字、大小写字母，大小写敏感），请求出 \(N\) 个字符串中共有多少个不同的字符串。
友情提醒：如果真的想好好练习哈希的话，请自觉。
输入格式
第一行包含一个整数 \(N\)，为字符串的个数。
接下来 \(N\) 行每行包含一个字符串，为所提供的字符串。
输出格式
输出包含一行，包含一个整数，为不同的字符串个数。
样例 #1
样例输入 #1
5
abc
aaaa
abc
abcc
12345
样例输出 #1
4
提示
对于 \(30\%\) 的数据：\(N\leq 10\)，\(M_i≈6\)，\(Mmax\leq 15\)。
对于 \(70\%\) 的数据：\(N\leq 1000\)，\(M_i≈100\)，\(Mmax\leq 150\)。
对于 \(100\%\) 的数据：\(N\leq 10000\)，\(M_i≈1000\)，\(Mmax\leq 1500\)。
样例说明：
样例中第一个字符串(abc)和第三个字符串(abc)是一样的，所以所提供字符串的集合为{aaaa,abc,abcc,12345}，故共计4个不同的字符串。
Tip：
感兴趣的话，你们可以先看一看以下三题：
BZOJ3097：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3097
BZOJ3098：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3098
BZOJ3099：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3099
如果你仔细研究过了（或者至少仔细看过AC人数的话），我想你一定会明白字符串哈希的正确姿势的_
- 字符串哈希,模数尽量选取大质数:
using u128 = unsigned long long;
u128 base = 131;
const u128 maxn = 100009;
const u128 N = 212370440130137957ll;
const u128 num = 233;
const u128 num2 = 100000007;
然后选取合适的哈希函数可以减少冲突的次数!!!
- 同时在比较一个数组中相同元素个数的时候可以选择先根据\(hash\) 值排序,然后再通过判断附近的字符串是否与自己相同
毕竟如果键值都不同也不会到一起去
AC code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using u128 = unsigned long long;
u128 base = 131;
const u128 maxn = 100009;
const u128 N = 212370440130137957ll;
const u128 num = 233;
const u128 num2 = 100000007;
u128 check[maxn];
u128 _hash(const char *s)
{
int l = strlen(s);
u128 ans = 0;
for (int i = 0; i < l; i++)
{
ans = (ans * base + s[i]) % N;
}
return ans;
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(0);
std::cin.tie(0),cout.tie(0);
string a;
int n;
std::cin >> n;
int count=n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a;
const char *ans = a.c_str();
u128 a2 = _hash(ans) % num%maxn;
bool OK = false;
u128 a1 =_hash(ans);
while (check[a2])
{
if(check[a2]==a1)
{
OK=true;
break;
}
a2 = (a2 + num2) % maxn;
}
if(OK)
{
count--;
}
else
check[a2] += a1;
}
cout<<count<<endl;
return 0;
}