莫队
使用场景
- 离线算法；
- 区间询问不断修改。
- 能用 \(O(1)\) 的时间复杂度从 \([l, r]\) 到 \([l + 1, r]\) 或者 \([l, r - 1]\)。
原理
原问题可以转化为为建立一个坐标轴，对于一个询问 \((l, r)\)，相当于点 \((l, r)\)，从一个询问 \((a, b)\) 到 \((c, d)\)，可以理解为点 \((a, b)\) 到 \((c, d)\) 的曼哈顿距离，\(Q\) 次询问的转移构成一棵生成树，当取曼哈顿距离的 MST（最小生成树），转移总代价最小。
实现
- 将询问离线，分块；
- 将询问排序，第一关键字左端点，第二关键字右端点；同一个块里面的，按照右端点排序；不是同一个块里面的，按照左端点排序。
- 维护双指针 \(x, y\)，对于一次区间询问 \([qx, qy]\)，将 \(x\) 移动到 \(qx\)，将 \(y\) 移动到 \(qy\) 即可得到答案。
注意：应该先加后减。
时间复杂度
对于右指针 \(y\)：
对于同一个块的询问，\(y\) 最多跑 \(n\) 次，每块换 \(1\) 次，最多换 \(O(n)\)，总共 \(O(num \times n)\)，\(num\) 为块的数量。
对于左指针 \(x\)：
对于同一个块中的询问，\(x\) 的单词询问 \(O(size)\)，\(size\) 为块长，总时间 \(O(q \times size)\)。
所以总时间复杂度为 \(O(q\times size + num \times n)\)。
奇偶优化
当两个询问的左端点在同一块时，若处于奇数块，则右端点升序，若左端点处于偶数块，则右端点降序。