接上一篇。
今天我们要分析 MAPE 这个函数在论文中的使用。以此为契机，适当深入一点机器学习的原理，讲以下两个知识点：
1. 损失函数和度量函数2. XGBoost模型，因子数据是否要标准化
损失函数与度量函数
在机器学习中，有两类重要的函数，一类是目标函数(objective function)，又称损失函数(loss function)；一类是度量函数(metrics)。
损失函数用于模型训练。在训练过程中，通过梯度下降等方法，使得损失函数的值不断减小，直到无法继续下降为止，模型就训练完成。
训练完成之后的模型，将在test数据集上进行测试，并将预测的结果与真实值进行对比。为了将这个对比过程数值化，我们就引入了度量函数(metrics)。
在sklearn中，提供了大量的损失函数和度量函数。下图列举了部分Sklearn提供的损失函数和度量函数：
可以看出，度量函数的个数远多于损失函数，这是为什么呢？
在论文中，论文作者并没有披露他通过xgboost训练的具体过程，只是说直接使用了xgboost的database，这个表述有点奇怪，我们可以理解为在参数上使用了XGBoost的默认值好了。但是他重点提到了使用MAPE，从过程来看，是在把MAPE当成度量函数进行事后评估。
在XGBoost中，如果没有特别指定目标函数，那么默认会使用带正则惩罚的RMSE(rooted mean square error)函数。RMSE也可以作为度量函数，在论文中，作者没有使用RMSE作为度量函数，而是选择了MAPE(mean absolute percentage error)，原因何在？如果MAPE在这个场景下比RMSE更好，又为何不在训练中使用MAPE？
看上去无论目标函数也好，度量函数也好，都要使得预测值与真实值越接近越好。既然都有这个特性，为什么还需要区分这两类函数呢？
要回答这些问题，就要了解XGBoost的训练原理，核心是：它是如何求梯度下降的。
XGBoost：二阶泰勒展开
XGBoost是一种提升(Boosting)算法，它通过多个弱学习器叠加，构成一个强学习器。每次迭代时，新的树会修正现有模型的残差，即预测值与真实值之间的差异。这个差异的大小，就由目标函数来计算。
在XGBoost中，多个弱学习器的叠加采用了加法模型，即最终的预测是所有弱学习器输出的加权和。这种模型允许我们使用泰勒展开来近似损失函数，从而进行高效的优化。
XGBoost对目标函数的优化是通过泰勒二阶展开，再求二阶导来实现的。使用二阶导数，XGBoost可以实现更快速的收敛，因为它不仅考虑了梯度的方向，还考虑了损失函数的形状。
f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2
正是由于XGBoost内部优化原理，决定了我们选择目标函数时，目标函数必须是二阶可导的。
RMSE是二阶可导的，但MAPE不是：MAPE从定义上来看，它的取值可以为零，在这些零值点附近连一阶导都不存在，就更不用说二阶导了。下图是MAPE的公式:
MAPE = 100 1 n ∑ i = 1 n ∣ 实际值 − 预测值 实际值 ∣ \text{MAPE} = 100\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\text{实际值} - \text{预测值}}{\text{实际值}} \right| MAPE=100n1i=1∑n 实际值实际值−预测值
当预测值与实际值一致时，MAPE的值就会取零。
如何选择目标函数？
选择MAPE作为度量函数，不仅仅是便于在不同的模型之间进行比较，在金融领域它还有特殊的重要性：
我们更在乎预测值与真实值之间的相对误差，而不是绝对误差。在交易中，百分比才是王者。正因为这个原因，如果在训练时，能够使用MAPE作为目标函数，这样预测出来的准确度，要比我们通过RSME训练出来的准确度，更接近实际应用。
这就是在具体领域，我们改进算法的一个切入点。已经有人发明了被称为SMAPE的损失函数，它的公式是：
SMAPE = 100 n ∑ t = 1 n ∣ F t − A t ∣ ( ∣ A t ∣ + ∣ F t ∣ ) / 2 \text{SMAPE} = \frac{100}{n} \sum_{t=1}^n \frac{\left|F_t-A_t\right|}{(|A_t|+|F_t|)/2} SMAPE=n100t=1∑n(∣At∣+∣Ft∣)/2∣Ft−At∣
到目前为止，sklearn还没有提供这个函数，但我们可以自己实现，并通过sklearn的make_scorer方法接入到sklearn系统中：
from sklearn.metrics import make_scorer
def smape(y_true, y_pred):
return np.mean(2.0 * np.abs(y_pred - y_true) /
(np.abs(y_true) + np.abs(y_pred)))
smape_scorer = make_scorer(smape, greater_is_better=False)
# 使用举例：在GridSearchCV中使用
grid_search = GridSearchCV(estimator=model,
param_grid=params,
scoring=smape_scorer)
Question: 既然训练中不能使用MAPE，那么论文在测试中，又为何要使用MAPE呢？
答案其实很简单，是为了便于在多个模型之间进行比较。在论文作者的算法中，每支股票都必须有自己的模型。由于每支股票的绝对价格不一样，因此，它们的RSME是不一样的，而MAPE相当于一个归一化的指标，从而可以在不同的模型之间进行比较，最终选择出误差最小的模型对应的股票，纳入策略股池。
但我们前面也提到过，论文作者的这个模型没有意义，改用分类模型会好一些。如果改用分类模型的话，损失函数也不再是RSME了，度量函数也不能是MAPE了。
标准化
论文中还提到，在训练之前，他将因子数据进行了标准化。
实际上，这也是没有意义的一步。因为XGBoost是决策树模型，它是通过特征值的比较来进行分裂和划分数据的，显然，分裂点的比较，并不依赖数据的量纲，因此，标准化就没有意义，反而可能带来精度损失问题，得不偿失。
当然，事情也不能一概而论。XGBoost使用正则化来控制树的复杂度，包括对叶节点的权重进行L2正则化。如果你在训练XGBoost模型时，损失函数加了正则惩罚，而特征未经过标准化，正则化的效果可能会变差。
另外，论文中的方法是，每支股票一个模型，但如果只用一个模型，但拿1000支股票的数据来训练1000次呢？显然，这个时候，就必须要提前进行标准化了。否则，收敛会很困难（当然，即使使用了标准化，也不保证就能收敛。能否收敛，要看众多股票是否真的具有同样的特征到标签的映射关系）。这并不是XGBoost的要求，而是根据我们使用XGBoost的方法带来的额外要求。
结论
对多数量化人来说，我们不可能像陈天奇那样自己撸一个机器学习框架出来，因此，要用同样的模型，做出更优的结果，就只能在数据标注、目标函数、评估函数和参数调优等方面下功夫了。这往往既需要有较深的领域知识，也要对具体的模型原理有一定的了解。
最后，博主的新书《Python高效编程实践指南》（机工出版）已经上架。作为量化人，要提升自己的工程水平，这本书是不二之选。自荐一下。
