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题解

遍历所有的子集肯定不行，所以我么考虑某些数作为 \(mex\) 的值时的贡献，也就是求 \(i\) 作为 \(mex\) 的值时，有多少子集的 \(mex\) 是 \(i\)

实施

• 对于 \(i \leq n\) ，假设子集选了 \(k_1\) 个小于 \(i\) 的数，\(k_2\) 个大于 \(i\) 的数，则有 \(1+(i-1)-k_1=k_1+k_2\)，即 \(i\) 是第 \(k_1+k_2+1\) 个没有被选中的数

• 对于 \(i>n\) ，假设子集选了 \(k\) 个小于 \(i\) 的数，同理有 \(1+(i-1)-k=k+1\)

预处理所有的组合数

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const ll mod = 1e9 + 7;

ll c[5005][5005]={0};

void init()
{
    for(int i=0;i<=5000;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
            c[i][j]%=mod;
        }
    }
}

void solve()
{
    ll n;
    cin >> n;

    ll ans = 0;
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int k2=0;k2<=n-i;k2++)
        {
            int k1=i-1-k2;
            if(k1%2||k1<0) continue;
            k1/=2;
            ans+=c[i-1][k1]*c[n-i][k2]%mod*i%mod;
            ans%=mod;
        }
    }
    for(ll i=n+1;i<=2*n+1;i++)
    {
        if(i%2==0) continue;
        ll j=(i-1)/2;
        ans+=c[n][j]%mod*i%mod;
        ans%=mod;

    }

    cout << ans << '\n';
}

int main()
{
    init();
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) solve();

    return 0;
}