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原文出处：拓端数据部落公众号
最近我们被客户要求撰写关于ARMA-GARCH的研究报告，包括一些图形和统计输出。
研究黄金价格的动态演变过程至关重要。文中以黄金交易市场下午定盘价格为基础,帮助客户利用时间序列的相关理论,建立了黄金价格的ARMA-GARCH模型,并对数据进行了实证分析,其结果非常接近。利用该模型可动态刻画黄金价格数据的生成过程,也可帮助黄金产品投资者和生产者做出更加灵活、科学的决策。
ARMA-GARCH模型
在一般的计量回归模型中,一个重要的假设条件是回归模型中残差的同方差性。它保证了回归系数的无偏性、有效性与一致性;然而,当回归残差的方差不能够保证同方差,即产生异方差时,回归估计系数的有效性与一致性则无法保证,从而导致回归系数估计的偏差。在实际的金融时间序列中,数据大都具有“尖峰厚尾”、波动集聚性与爆发性等特征。根据金融时间序列的这些特性,为了应对这种情况,美国经济学家RobertF.Engle于1 982年首次提出了A R C H模型;它具有良好的特性,即持续的方差和处理厚尾的能力,能较好地描述金融序列的波动特征[6-7]。
ARMA 模型
一般来说,一个变量的现在取值,不仅受其本身过去值的影响,而且也受现在和过去各种随机因素冲击的影响。因此,可建立其数据生成模型为:
y t=a 0+a 1 y t-1+a 2 y t-2+...+a py t-p+u t+
β1 u t-1+...+βq u t-q(1)
式中:p和q为模型的自回归阶数和移动平均阶数;a i和βi为不为零的待定系数;u t为独立的误差项;y t为平稳、正态、零均值的时间序列。如果该模型的特征根都在单位圆外,则该模型就称为A R M A(p,q)模型
GARCH(p,q) 模型
若随机变量y t可以表示为如下形式:
y t=a 0+a 1 y t-1+a 2 y t-2+...+a py t-p+u t(2)
σ2t=φ0+φ1 u2t-1+φ2 u2t-2+…+φq u2t-q(3)式中:σ2t为条件方差;φi为待定系数;其它参数同上。
称u t服从q阶的A R C H过程,记作u t A R C H(q)。其中,(2)式称作均值方程,(3)式称作A R C H方程。A R C H(q)模型是关于σ2t的分布滞后模型。为避免u2t的滞后项过多,可采用加入σ2t滞后项的方法。对于(3)式,可给出如下形式:
σ2t=φ0+φ1 u2t-1+λ1σ2t-1(4)
式中:λ为待定系数。
该模型称为广义自回归条件异方差模型,用G A R C H(1,1)表示。其中,u t-1称为A R C H项;σt-1称为G A R C H项。
(4)式应满足的条件为:φ0>0,φ1≥0,λ1≥0。
ARMA-GARCH 模型建立与实证分析
建立ARMA-GARCH 模型步骤
建立黄金价格ARMA-GARCH模型通常包括5个步骤,即序列平稳性验证、模型识别及参数估计、异方差效应检验、建立ARMA-GARCH模型及参数估计、模型诊断与实证分析。建立模型过程见图。
数据采集
笔者所选取的样本数据为XX定盘价格(用P表示,单位为美元/盎司),共计851个数据,利用计量分析软件R完成
平稳性检验及数据处理
通过黄金价格时间序列(见图2)可以看出,历年的黄金价格有异常值并且结构发生了突变;相关统计特征显示黄金价格序列存在右偏和尖峰现象(相对于标准正态分布),呈现“尖峰厚尾”特征。同时J B检验也说明黄金价格序列不服从正态分布。再者,从黄金价格自相关及偏相关(见图3)中,可初步判断黄金价格为结构发生突变的非平稳时间序列。
为了检验数据是否适合建立时间序列模型,现对数据做平稳性检验即单位根检验,检验模型方法为最小二乘估计。对黄金价格P进行单位根检验检验结果见如下。其检验结果均清楚显示黄金价格序列存在单位根,为非平稳时间序列。
因此,笔者对黄金价格时间序列取自然对数,再对其进行单位根检验。从检验结果可以看出,由于p值小于0.05，因此拒绝原假设，认为黄金价格时间序列为平稳序列。只有带漂移项的检验式才能通过t检验。
经检验,A D F=-3.1413,小于不同检验方法的临界值,所以自然对数的黄金价格序列是一个带有漂移项的平稳序列。
模型识别及参数估计
ARMA模型的定阶从两方面考虑:一是考虑模型的数据特征,即自相关函数和偏自相关函数;二是考虑模型定阶准则AIC和SIC。
根据ln(P)的自相关图,可初步选定ARMA(1,0)、ARMA(1,1)、ARMA(2,2)、ARMA(2,1)等8个模型。
通过综合比较各模型的判定指标(见表2),可以判断模型ARMA(1,1)的AIC数值和SIC数值最小,初步选定该模型。其参数估计采用非线性最小二乘法,利用R软件完成。ARMA(1,1)模型对应的数学表达式为
l n(P t)=6.168+0.98 5l n(P t-1)+u t+0.33 4u t-1。
从结果可以看出,各参数均通过t检验,方程特征根的倒数均在单位圆内,即特征根均在单位圆外,满足平稳性要求。
ARMA (p,q) 模型的相关判定指标
| 模型 | AIC | log likelihood |
|---|---|---|
| A R M A ( 1, 0) | 6880.5 | -3437.26 |
| A R M A ( 0, 1) | 9346.89 | -4670.44 |
| A R M A ( 1, 1) | 6882.5 | -3437.25 |
| A R M A ( 2, 1) | 6884.2 | -3437.12 |
| A R M A ( 1,2) | 6904.7 | -3447.35 |
| A R M A ( 2, 2) | 6883.6 | -3435.84 |
| A R M A ( 3, 1) | 6899.1 | -3443.58 |
| A R M A ( 1, 3) | 7096.61 | -3542.3 |
A R C H 检验
在分析金融数据中,条件异方差的忽略可能导致参数估计失去渐进有效性和ARMA模型的过度参数化,还可能引起传统检验的过度拒绝。可以发现波动的“成群”现象:波动在一段时期内非常小,在其他一段时期内非常大。这说明ARMA(1,1)模型的误差项可能具有条件异方差性。
借助R软件,可得出自回归条件异方差的L M检验式为:u2t=0.001 8+0.256 6u2t-1
t检验(5.319)(5.65 2)
L P的A R M A(1,1)模型残差检验的统计量L M=8.3379>χ0.05(1)=3.8 4。其中,T为样本容量;R2为判定系数。
ARMA-GARCH 模型建立
检验结果证明,ARMA(1,1)模型的残差存在自回归条件异方差,则应该在ARMA(1,1)均值方程基础上建立ARCH模型。为确定ARCH阶数需多次尝试,最终确定ARCH模型为2阶。因为滞后期很长,在此考虑加入GARCH模型,进一步采用GARCH(2,2)模型。
这些充分说明均值方程在配有G A R C H(1,1)模型后,已消除了A R M A(1,1)模型残差序列中的自回归条件异方差成分。该模型能够更好的拟合数据。
实证分析
结合预测理论及相应软件工具,利用ARMA(1,1)-GARCH(2,2)模型对黄金价格进行验证。
最后我们得到以下结果：
结语
(1)本文通过对黄金价格ARMA(1,0)模型的残差序列进行ARCH-LM检验,发现了黄金价格存在明显的自回归条件异方差效应。
(2)利用时间序列相关理论,建立了ARMA(1,1)-GARCH(2,2)模型。通过实证分析可知,该模型可准确地动态刻画黄金价格数据的生成过程,平均误差很小。
[ 参考文献 ]
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[ 6] 靳云汇, 金赛男. 高级计量经济学[ M] . 北京: 北京大学出版社,2007
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