洛谷 P1853 投资的最大效益 蒟蒻题解

题目背景

约翰先生获得了一大笔遗产，他暂时还用不上这一笔钱，他决定进行投资以获得更大的效益。银行工作人员向他提供了多种债券，每一种债券都能在固定的投资后，提供稳定的年利息。当然，每一种债券的投资额是不同的，一般来说，投资越大，收益也越大，而且，每一年还可以根据资金总额的增加，更换收益更大的债券。

题目描述

例如：有如下两种不同的债券：

1. 投资额 $$4000$，年利息 $$400$；
2. 投资额 $$3000$，年利息 $$250$。

初始时，有 $$10000$ 的总资产，可以投资两份债券 1 债券，一年获得 $$800$ 的利息；而投资一份债券 1 和两份债券 2，一年可获得 $$900$ 的利息，两年后，可获得 $$1800$ 的利息；而所有的资产达到 $$11800$，然后将卖掉一份债券 2，换购债券 1，年利息可达到 $$1050$；第三年后，总资产达到 $$12850$，可以购买三份债券 1，年利息可达到 $$1200$，第四年后，总资产可达到 $$14050$。

现给定若干种债券、最初的总资产，帮助约翰先生计算，经过 $n$ 年的投资，总资产的最大值。

输入格式

第一行为三个正整数 $s, n, d$，分别表示最初的总资产、年数和债券的种类。

接下来 $d$ 行，每行表示一种债券，两个正整数 $a, b$ 分别表示债券的投资额和年利息。

输出格式

仅一个整数，表示 $n$ 年后的最大总资产。

样例 #1

样例输入 #1

10000 4 2
4000 400
3000 250

样例输出 #1

14050

提示

对于 $100 %$ 的数据，$1 \le s \le {10}^6$，$2 \le n \le 40$，$1 \le d \le 10$，$1 \le a \le {10}^4$，且 $a$ 是 $1000$ 的倍数，$b$ 不超过 $a$ 的 $10%$。

解题思路：

简单的完全背包问题，但是需要动态考虑背包体积的扩大

仔细考虑dp维护什么，本此题解以利润为例

每年本金 = 债券总额 + 剩余本金 + 创收利润 同时债券总额 + 剩余本金 = 原本本金（因为债券可以无损买卖）

所以有 本金+=利润

这就是每年本金的更新

其余解释置于代码注释

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<stdio.h>
#include<vector>//Vector动态容器
#include<algorithm>
#include<stack>//栈
#include<unordered_map>//哈希表
#include<map>
#include<queue>//队列
using namespace std;
int dp[10000001];
int s, n, d;
int w[3000000];//每个债券的本金
int val[3000000];//每个债券的利润
int a;
int main(){
	cin >> s >> n >> d;//总本金 年份 种类
	for (int i = 1; i <= d; i++){//a是1000的倍数 放缩
		cin >> w[i] >> val[i];
	}
	//总本金算背包容量 债券占据背包容量的同时 会扩大背包容量（创收利润）
	//债券还可以卖出 将背包容量减轻w[i]后 背包容量对应增大w[i]
	//债券动态选择 相当于不同的元素 可以重复选取
	//动态完全背包
	//n年 每年都会在第二年创收利润
	for (int q = 1; q <= n; q++) {
		//每年本金 = 债券总额 + 剩余本金 + 创收利润 但是债券总额 + 剩余本金 = 原本本金
		//所以最终就是 s+=dp[s]
		for (int i = 1; i <= d; i++) {//计算种类
			for (int j = w[i]/1000; j <= s / 1000; j++) {//计算本金（背包体积）
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i] / 1000] + val[i]);//dp维护第二年创收利润	
			}
		}
		s = s + dp[s / 1000];
		memset(dp, 0, sizeof(dp));//每年重置
	}
	cout << s << endl;

}

包过的！！！