前言
本博文适合有一定立体几何基础的学生自学使用。
典例剖析
解析：由于容易发现 \(BC_1//AD_1\)，故当点 \(P\) 在面对角线 \(BC_1\) 上运动时，点 \(P\) 到平面 \(AD_1C\) 的距离应该是定值，再结合下底面 \(AD_1C\) 的面积固定，则可知三棱锥 \(P-AD_1C\) 的体积不变，即三棱锥 \(A-D_1PC\) 的体积不变，故①正确；
证明②的正确的思路比较多：其一，连接\(A_1B\)，\(A_1C_1\)，则容易知道平面 \(AD_1C//\) 平面 \(A_1BC_1\)，故当点 \(P\) 在面对角线 \(BC_1\) 上运动时，直线 \(A_1P\subset\) 平面 \(BA_1C_1\)，故 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；其二，特殊位置法，分别让点 \(P\) 移动到点 \(B\) 和点 \(C_1\)，在这两个特殊位置时都可以说明 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)，这样猜想当点 \(P\) 移动到其他位置时，一定有 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；其三，在平面 \(AD_1C\) 中如何找这样的直线，过点 \(C\) 在平面 \(AD_1C\) 中做 \(CV//A_1P\)，连接 \(A_1V\)，则四边形 \(A_1PCV\) 是平行四边形，故一定有 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；故 ②正确；
对于③，采用特殊位置法，当点 \(P\) 移动到点 \(B\) 和点 \(C_1\)，\(DP\) 和 \(BC_1\) 都是面对角线，如果再连接 \(C_1D\)(或 \(BD\))，则 \(DP\) 和 \(BC_1\) 的夹角为 \(60^{\circ}\)，故③错误；
对于④，我们已经积累了体对角线 \(B_1D\perp\) 平面 \(AD_1C\)，又 \(B_1D\subset\) 平面 \(PDB_1\)，则平面 \(PDB_1\perp\) 平面 \(ACD_1\)，故 ④正确，
综上所述， ①②④ 正确；
A.有无数个点 \(M\) 满足 \(CM\perp AD_1\);
B.当点 \(M\) 在棱 \(DD_1\) 上运动时，\(MA+MB_1\) 的最小值为 \(\sqrt{3}+1\);
C.若 \(MB_1=\sqrt{2}\)，则动点 \(M\) 的轨迹长度为 \(\cfrac{\pi}{2}\);
D.在线段 \(AD_1\) 上存在点 \(M\) ，使异面直线 \(MB_1\) 与 \(CD\) 所成的角是 \(30^{\circ}\);
解：对于选项 \(A\)，当点 \(M\) 在线段 \(A_1D\) 上运动时，容易证明 \(CM\perp AD_1\)；由于 \(AD_1\perp A_1D\)，\(AD_1\perp CD\)，
所以 \(AD_1\perp\) 平面 \(A_1CD\)，\(CM\subset\) 平面 \(A_1DC\)，故 \(AD_1\perp CM\)，即有无数个点 \(M\) 满足 \(CM\perp AD_1\)，故选项 \(A\) 正确；
对于选项 \(B\)，当点 \(M\) 在棱 \(DD_1\) 上运动时，\(MA+MB_1\) 是两条折线长度的和，而我们知道，在一个平面内两点之间线段最短，故需要将正方体展开，使得点 \(A\) 和点 \(B_1\) 以及点 \(M\) 三点共面， 要使得 \(MA+MB_1\) 最小，只需要那三点共线即可。为此，我们将侧面 \(ADD_1A_1\) 以 \(DD_1\) 为轴，顺时针旋转 \(135^{\circ}\)，使得旋转后的平面 \(ADD_1A_1\) 与平面 \(BDD_1B_1\) 共面，连接 \(AB_1\) 与 \(DD_1\) 相交于点 \(M\)，此时线段 \(AB_1\) 的长度就是 \(MA+MB_1\) 的最小值，如图所示，
此时，\(AB_1^2\)\(=\)\(AB^2+BB_1^2\)，即 \(AB_1\)\(=\)\(\sqrt{1^2+(1+\sqrt{2})^2}\)\(=\)\(\sqrt{4+2\sqrt{2}}\)\(\neq\)\(\sqrt{3}+1=\)\(\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)，故选项 \(B\) 错误；
对于选项 \(C\)，连接 \(A_1M\) 和 \(B_1M\)，在 \(Rt\triangle A_1B_1M\) 中，\(A_1B_1=1\)，\(B_1M=\sqrt{2}\)，
由勾股定理可知，\(A_1M=1\)，由于点 \(M\) 在平面 \(ADD_1A_1\) 内运动，且 \(A_1M=1\)，故点 \(M\) 的轨迹为以点 \(A_1\) 为圆心，以 \(1\) 为半径的四分之一个圆周(在平面 \(ADD_1A_1\) 内)，故所求轨迹长度为 \(\cfrac{1}{4}\times 2\pi\times 1=\cfrac{\pi}{2}\)，故选项 \(C\) 正确；
对于选项 \(D\)，由于 \(CD//B_1A_1\)，故异面直线 \(MB_1\) 与 \(CD\) 所成的角也就是直线 \(MB_1\) 与 \(B_1A_1\) 所成的线线角\(\Big[\)线线角的范围为\([0,\cfrac{\pi}{2}]\)\(\Big]\)，
当点 \(M\) 和点 \(A\) 重合时，所求的夹角为 \(45^{\circ}\)，故选项 \(D\) 错误；
综上所述，选 \(AC\) ；
标签：AD,MB,位置,sqrt,1C,perp,平面,动态,线面 From： https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/18290540