在《变分自编码器（五）：VAE + BN = 更好的VAE》中，我们讲到了NLP中训练VAE时常见的KL散度消失现象，并且提到了通过BN来使得KL散度项有一个正的下界，从而保证KL散度项不会消失。事实上，早在2018年的时候，就有类似思想的工作就被提出了，它们是通过在VAE中改用新的先验分布和后验分布，来使得KL散度项有一个正的下界。
该思路出现在2018年的两篇相近的论文中，分别是《Hyperspherical Variational Auto-Encoders》和《Spherical Latent Spaces for Stable Variational Autoencoders》，它们都是用定义在超球面的von Mises–Fisher（vMF）分布来构建先后验分布。某种程度上来说，该分布比我们常用的高斯分布还更简单和有趣～
KL散度消失 #
我们知道，VAE的训练目标是
\begin{equation}\mathcal{L} = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)} \Big[\mathbb{E}_{z\sim p(z|x)}\big[-\log q(x|z)\big]+KL\big(p(z|x)\big\Vert q(z)\big)\Big]
\end{equation}
其中第一项是重构项，第二项是KL散度项，在《变分自编码器（一）：原来是这么一回事》中我们就说过，这两项某种意义上是“对抗”的，KL散度项的存在，会加大解码器利用编码信息的难度，如果KL散度项为0，那么说明解码器完全没有利用到编码器的信息。
在NLP中，输入和重构的对象是句子，为了保证效果，解码器一般用自回归模型。然而，自回归模型是非常强大的模型，强大到哪怕没有输入，也能完成训练（退化为无条件语言模型），而刚才我们说了，KL散度项会加大解码器利用编码信息的难度，所以解码器干脆弃之不用，这就出现了KL散度消失现象。
早期比较常见的应对方案是逐渐增加KL项的权重，以引导解码器去利用编码信息。现在比较流行的方案就是通过某些改动，直接让KL散度项有一个正的下界。将先后验分布换为vMF分布，就是这种方案的经典例子之一。
vMF分布 #
vMF分布是定义在$d-1$维超球面的分布，其样本空间为$S^{d-1}=\{x|x\in\mathbb{R}^d, \Vert x\Vert=1\}$，概率密度函数则为
\begin{equation}p(x) = \frac{e^{\langle\xi,x\rangle}}{Z_{d, \Vert\xi\Vert}},\quad Z_{d, \Vert\xi\Vert}=\int_{S^{d-1}}e^{\langle\xi,x\rangle} dS^{d-1}\end{equation}
其中$\xi\in\mathbb{R}^d$是预先给定的参数向量。不难想象，这是$S^{d-1}$上一个以$\xi$为中心的分布，归一化因子写成$Z_{d, \Vert\xi\Vert}$的形式，意味着它只依赖于$\xi$的模长，这是由于各向同性导致的。由于这个特性，vMF分布更常见的记法是设$\mu=\xi/\Vert\xi\Vert, \kappa=\Vert\xi\Vert, C_{d,\kappa}=1/Z_{d, \Vert\xi\Vert}$，从而
\begin{equation}p(x) = C_{d,\kappa} e^{\kappa\langle\mu,x\rangle}\end{equation}
这时候$\langle\mu,x\rangle$就是$\mu,x$的夹角余弦，所以说，vMF分布实际上就是以余弦相似度为度量的一种分布。由于我们经常用余弦值来度量两个向量的相似度，因此基于vMF分布做出来的模型，通常更能满足我们的这个需求。当$\kappa=0$的时候，vMF分布是球面上的均匀分布。
从归一化因子$Z_{d, \Vert\xi\Vert}$的积分形式来看，它实际上也是vMF的母函数，从而vMF的各阶矩也可以通过$Z_{d, \Vert\xi\Vert}$来表达，比如一阶矩为
\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim p(x)} [x] = \nabla_{\xi} \log Z_{d, \Vert\xi\Vert}=\frac{d \log Z_{d,\Vert\xi\Vert}}{d\Vert\xi\Vert}\frac{\xi}{\Vert\xi\Vert}\end{equation}
可以看到$\mathbb{E}_{x\sim p(x)} [x]$在方向上跟$\xi$一致。$Z_{d, \Vert\xi\Vert}$的精确形式可以算出来，但比较复杂，而且很多时候我们也不需要精确知道这个归一化因子，所以这里我们就不算了。
至于参数$\kappa$的含义，或许设$\tau=1/\kappa$我们更好理解，此时$p(x)\sim e^{\langle\mu,x\rangle/\tau}$，熟悉能量模型的同学都知道，这里的$\tau$就是温度参数，如果$\tau$越小（$\kappa$越大），那么分布就越集中在$\mu$附近，反之则越分散（越接近球面上的均匀分布）。因此，$\kappa$也被形象地称为“凝聚度（concentration）”参数。
从vMF采样 #
对于vMF分布来说，需要解决的第一个难题是如何实现从它里边采样出具体的样本来。尤其是如果我们要将它应用到VAE中，那么这一步是至关重要的。
均匀分布 #
最简单是$\kappa=0$的情形，也就是$d-1$维球面上的均匀分布，因为标准正态分布本来就是各向同性的，其概率密度正比于$e^{-\Vert x\Vert^2/2}$只依赖于模长，所以我们只需要从$d$为标准正态分布中采样一个$z$，然后让$x=z/\Vert z\Vert$就得到了球面上的均匀采样结果。
特殊方向 #
接着，对于$\kappa > 0$的情形，我们记$x=[x_1,x_2,\cdots,x_d]$，首先考虑一种特殊的情况：$\mu = [1, 0, \cdots, 0]$。事实上，由于各向同性的原因，很多时候我们都只需要考虑这个特殊情况，然后就可以平行地推广到一般情形。
此时概率密度正比于$e^{\kappa x_1}$，然后我们转换到球坐标系：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_1 &= \cos\varphi_1\\
x_2 &= \sin\varphi_1 \cos\varphi_2 \\
x_3 &= \sin\varphi_1 \sin\varphi_2 \cos\varphi_3 \\
&\,\,\vdots \\
x_{d-1} &= \sin\varphi_1 \cdots \sin\varphi_{d-2} \cos\varphi_{d-1}\\
x_d &= \sin\varphi_1 \cdots \sin\varphi_{d-2} \sin\varphi_{d-1}
\end{aligned}\right.
\end{equation}
那么（超球坐标的积分变换，请直接参考“维基百科”）
\begin{equation}\begin{aligned}
e^{\kappa x_1}dS^{d-1} =& e^{\kappa\cos\varphi_1}\sin^{d-2}\varphi_1 \sin^{d-3}\varphi_2 \cdots \sin\varphi_{d-2} d\varphi_1 d\varphi_2 \cdots d\varphi_{d-1} \\
=& \left(e^{\kappa\cos\varphi_1}\sin^{d-2}\varphi_1 d\varphi_1\right)\left(\sin^{d-3}\varphi_2 \cdots \sin\varphi_{d-2} d\varphi_2 \cdots d\varphi_{d-1}\right) \\
=& \left(e^{\kappa\cos\varphi_1}\sin^{d-2}\varphi_1 d\varphi_1\right)dS^{d-2} \\
\end{aligned}\end{equation}
这个分解表明，从该vMF分布中采样，等价于先从概率密度正比于$e^{\kappa\cos\varphi_1}\sin^{d-2}\varphi_1$的分布采样一个$\varphi_1$，然后从$d-2$维超球面上均匀采样一个$d-1$维向量$\varepsilon = [\varepsilon_2,\varepsilon_3,\cdots,\varepsilon_d]$，通过如下方式组合成最终采样结果
\begin{equation}x = [\cos\varphi_1, \varepsilon_2\sin\varphi_1, \varepsilon_3\sin\varphi_1, \cdots, \varepsilon_d\sin\varphi_1]\end{equation}
设$w=\cos\phi_1\in[-1,1]$，那么
\begin{equation}\left|e^{\kappa\cos\varphi_1}\sin^{d-2}\varphi_1 d\varphi_1\right| = \left|e^{\kappa w} (1-w^2)^{(d-3)/2}dw\right|\end{equation}
所以我们主要研究从概率密度正比于$e^{\kappa w} (1-w^2)^{(d-3)/2}$的分布中采样。
然而，笔者所不理解的是，大多数涉及到vMF分布的论文，都采用了1994年的论文《Simulation of the von mises fisher distribution》提出的基于beta分布的拒绝采样方案，整个采样流程还是颇为复杂的。但现在都2021年了，对于一维分布的采样，居然还需要拒绝采样这么低效的方案？
事实上，对于任意一维分布$p(w)$，设它的累积概率函数为$\Phi(w)$，那么$w=\Phi^{-1}(\varepsilon),\varepsilon\sim U[0,1]$就是一个最方便通用的采样方案。可能有读者抗议说“累积概率函数不好算呀”、“它的逆函数更不好算呀”，但是在用代码实现采样的时候，我们压根就不需要知道$\Phi(w)$长啥样，只要直接数值计算就行了，参考实现如下：
import numpy as np
def sample_from_pw(size, kappa, dims, epsilon=1e-7):
x = np.arange(-1 + epsilon, 1, epsilon)
y = kappa * x + np.log(1 - x**2) * (dims - 3) / 2
y = np.cumsum(np.exp(y - y.max()))
y = y / y[-1]
return np.interp(np.random.random(size), y, x)
这里的实现中，计算量最大的是变量y的计算，而一旦计算好之后，可以缓存下来，之后只需要执行最后一步来完成采样，其速度是非常快的。这样再怎么看，也比从beta分布中拒绝采样要简单方便吧。顺便说，实现上这里还用到了一个技巧，即先计算对数值，然后减去最大值，最后才算指数，这样可以防止溢出，哪怕$\kappa$成千上万，也可以成功计算。
一般情形 #
现在我们已经实现了从$\mu=[1,0,\cdots,0]$的vMF分布中采样了，我们可以将采样结果分解为
\begin{equation}x = w\times\underbrace{[1,0,\cdots,0]}_{\text{参数向量}\mu} + \sqrt{1-w^2}\times\underbrace{[0,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_d]}_{\begin{array}{c}\text{与}\mu\text{正交的}d-2\text{维}\\ \text{超球面均匀采样}\end{array}}\end{equation}
同样由于各向同性的原因，对于一般的$\mu$，采样结果依然具有同样的形式：
\begin{equation}\begin{aligned}
&x = w\mu + \sqrt{1-w^2}\nu\\
&w\sim e^{\kappa w} (1-w^2)^{(d-3)/2}\\
&\nu\sim \text{与}\mu\text{正交的}d-2\text{维超球面均匀分布}
\end{aligned}\end{equation}
对于$\nu$的采样，关键之处是与$\mu$正交，这也不难实现，先从标准正态分布中采样一个$d$维向量$z$，然后保留与$\mu$正交的分量并归一化即可：
\begin{equation}\nu = \frac{\varepsilon - \langle \varepsilon,\mu\rangle \mu}{\Vert \varepsilon - \langle \varepsilon,\mu\rangle \mu\Vert},\quad \varepsilon\sim\mathcal{N}(0,1_d)\end{equation}
vMF-VAE #
至此，我们可谓是已经完成了本篇文章最艰难的部分，剩下的构建vMF-VAE可谓是水到渠成了。vMF-VAE选用球面上的均匀分布（$\kappa=0$）作为先验分布$q(z)$，并将后验分布选取为vMF分布：
\begin{equation}p(z|x) = C_{d,\kappa} e^{\kappa\langle\mu(x),z\rangle}\end{equation}
简单起见，我们将$\kappa$设为超参数（也可以理解为通过人工而不是梯度下降来更新这个参数），这样一来，$p(z|x)$的唯一参数来源就是$\mu(x)$了。此时我们可以计算KL散度项
\begin{equation}\begin{aligned}
\int p(z|x) \log\frac{p(z|x)}{q(z)} dz =&\, \int C_{d,\kappa} e^{\kappa\langle\mu(x),z\rangle}\left(\kappa\langle\mu(x),z\rangle + \log C_{d,\kappa} - \log C_{d,0}\right)dz\\
=&\,\kappa\left\langle\mu(x),\mathbb{E}_{z\sim p(z|x)}[z]\right\rangle + \log C_{d,\kappa} - \log C_{d,0}
\end{aligned}\end{equation}
前面我们已经讨论过，vMF分布的均值方向跟$\mu(x)$一致，模长则只依赖于$d$和$\kappa$，所以代入上式后我们可以知道KL散度项只依赖于$d$和$\kappa$，当这两个参数被选定之后，那么它就是一个常数（根据KL散度的性质，当$\kappa\neq 0$时，它必然大于0），绝对不会出现KL散度消失现象了。
那么现在就剩下重构项了，我们需要用“重参数（Reparameterization）”来完成采样并保留梯度，在前面我们已经研究了vMF的采样过程，所以也不难实现，综合的流程为：
\begin{equation}\begin{aligned}
&\mathcal{L} = \Vert x - g(z)\Vert^2\\
&z = w\mu(x) + \sqrt{1-w^2}\nu\\
&w\sim e^{\kappa w} (1-w^2)^{(d-3)/2}\\
&\nu=\frac{\varepsilon - \langle \varepsilon,\mu\rangle \mu}{\Vert \varepsilon - \langle \varepsilon,\mu\rangle \mu\Vert}\\
&\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,1_d)
\end{aligned}\end{equation}
这里的重构loss以MSE为例，如果是句子重构，那么换用交叉熵就好。其中$\mu(x)$就是编码器，而$g(z)$就是解码器，由于KL散度项为常数，对优化没影响，所以vMF-VAE相比于普通的自编码器，只是多了一项稍微有点复杂的重参数操作（以及人工调整$\kappa$）而已，相比基于高斯分布的标准VAE可谓简化了不少了。
此外，从该流程我们也可以看出，除了“简单起见”之外，不将$\kappa$设为可训练还有一个主要原因，那就是$\kappa$关系到$w$的采样，而在$w$的采样过程中要保留$\kappa$的梯度是比较困难的。
参考实现 #
vMF-VAE的实现难度主要是重参数部分，也就还是从vMF分布中采样，而关键之处就是$w$的采样。前面我们已经给出了$w$的采样的numpy实现，但是在tf中未见类似np.interp的函数，因此不容易转换为纯tf的实现。当然，如果是torch或者tf2这种动态图框架，直接跟numpy的代码混合使用也无妨，但这里还是想构造一种比较通用的方案。
其实也不难，由于$w$只是一个一维变量，每步训练只需要用到batch_size个采样结果，所以我们完全可以事先用numpy函数采样好足够多（几十万）个$w$存好，然后训练的时候直接从这批采样好的结果随机抽就行了，参考实现如下：
def sampling(mu):
"""vMF分布重参数操作
"""
dims = K.int_shape(mu)[-1]
# 预先计算一批w
epsilon = 1e-7
x = np.arange(-1 + epsilon, 1, epsilon)
y = kappa * x + np.log(1 - x**2) * (dims - 3) / 2
y = np.cumsum(np.exp(y - y.max()))
y = y / y[-1]
W = K.constant(np.interp(np.random.random(10**6), y, x))
# 实时采样w
idxs = K.random_uniform(K.shape(mu[:, :1]), 0, 10**6, dtype='int32')
w = K.gather(W, idxs)
# 实时采样z
eps = K.random_normal(K.shape(mu))
nu = eps - K.sum(eps * mu, axis=1, keepdims=True) * mu
nu = K.l2_normalize(nu, axis=-1)
return w * mu + (1 - w**2)**0.5 * nu一个基于MNIST的完整例子可见：
https://github.com/bojone/vae/blob/master/vae_vmf_keras.py
至于vMF-VAE用于NLP的例子，我们日后有机会再分享。本文主要还是以理论介绍和简单演示为主～
文章小结 #
本文介绍了基于vMF分布的VAE实现，其主要难度在于vMF分布的采样。总的来说，vMF分布建立在余弦相似度度量之上，在某些方面的性质更符合我们的直观认知，将其用于VAE中，能够使得KL散度项为一个常数，从而防止了KL散度消失现象，并且简化了VAE结构。
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