完全背包

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9
https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html

思考

完全背包的物品可以无限选择，遍历顺序和01背包相反，背包需要正向遍历。

def test_CompletePack():
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    bagWeight = 4
    dp = [0] * (bagWeight + 1)
    for i in range(len(weight)):  # 遍历物品
        for j in range(weight[i], bagWeight + 1):  # 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    print(dp[bagWeight])

test_CompletePack()

518. 零钱兑换 II

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1KM411k75j
https://programmercarl.com/0518.零钱兑换II.html
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:

5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

思考

物品可重复，完全背包问题。
本题的难点在于遍历顺序！
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        # dp[i] 组成总数为i的的硬币的组合数
        dp = [0] * (amount+1)
        dp[0] = 1
        # 先物品再背包 求组合问题
        for coin in coins:
            for i in range(1,amount+1):
                if i-coin >=0:
                    dp[i] += dp[i-coin]
        return dp[-1]

377. 组合总和 Ⅳ

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1V14y1n7B6
https://programmercarl.com/0377.组合总和Ⅳ.html
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

nums = [1, 2, 3]
target = 4
所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

思考

完全背包问题，求排列数，先背包再物品，正序遍历

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        #dp[i] 背包容量为i,装满的组合数
        dp = [0] * (target+1)
        dp[0] = 1
        for i in range(1,target+1):
            for num in nums:
                if i>=num:
                    dp[i]+=dp[i-num]
        return dp[-1]

70. 爬楼梯 （进阶）

这道题目 爬楼梯之前我们做过，这次再用完全背包的思路来分析一遍

https://programmercarl.com/0070.爬楼梯完全背包版本.html
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

输入描述：输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m

输出描述：输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。

输入示例：3 2

输出示例：3

提示：

当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。

此时你有三种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

思考

这其实是一个完全背包问题。

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。

def climbing_stairs(n,m):
    dp = [0]*(n+1) # 背包总容量
    dp[0] = 1 
    # 排列题，注意循环顺序，背包在外物品在内
    for j in range(1,n+1):
        for i in range(1,m+1):
            if j>=i:
                dp[j] += dp[j-i] # 这里i就是重量而非index
    return dp[n]

if __name__ == '__main__':
    n,m = list(map(int,input().split(' ')))
    print(climbing_stairs(n,m))