本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。
目录7.1 大气湿度的概念
表示大气中水汽量多少的物理量称大气湿度。大气湿度状况与云、雾、降水等关系密切。下面来介绍几个表示大气湿度的物理量。
7.2 水汽压
7.2.1 水汽压
大气压力是大气中各种气体压力的总和。水汽和其它气体一样，也有压力。大气中的水汽所产生的那部分压力称水汽压（用 \(e\) 表示）。它的单位和气压一样，也用 hPa 表示。假设湿空气中水汽的摩尔分数为：
\[\chi_w = \frac{n_w}{n_w + n_d} \]其中，\(n_w\) 和 \(n_d\) 分别为水汽和干空气的摩尔数，则水汽的分压强为：
\[e = \chi_w p \]7.2.2 饱和水汽压
在温度一定情况下，单位体积空气中的水汽量有一定限度，如果水汽含量达到此限度，空气就呈饱和状态，这时的空气称饱和空气。饱和空气的水汽压称饱和水汽压（用 \(E\) 表示），也叫最大水汽压，因为超过这个限度，水汽就要开始凝结。实验和理论都可证明，饱和水汽压随温度的升高而增大。在不同的温度条件下，饱和水汽压的数值是不同的。饱和水汽压随温度的变化率由克拉珀龙-克劳修斯方程决定，即：
\[\frac{\mathrm{d} e_s}{\mathrm{d} T} = \frac{L_we}{R_w T^2} \]式中，\(e_s\) 是纯水平液面的饱和水汽压，\(R_w\) 是水汽的比气体常数，\(L_w\) 是相变潜热。
7.2.3 饱和差
在一定温度下，饱和水汽压与实际空气中水汽压之差称饱和差（用 \(d\) 表示），即：
\[d = E - e \]饱和差表示实际空气距离饱和的程度。在研究水面蒸发时常用到饱和差，它能反映水分子的蒸发能力。
7.3 混合比与比湿
7.3.1 水汽混合比
一团湿空气中，水汽质量（或密度）与干空气质量（或密度）的比值称水汽混合比（用 \(r\) 表示），其单位为 g/kg，定义式如下：
\[r = \frac{m_w}{m_d} = \frac{\rho_w}{\rho_d} \]其中，\(m_w\) 为湿空气中水汽的质量，\(m_d\) 为湿空气中干空气的质量；\(\rho_w\) 为湿空气的水汽分密度，\(\rho_d\) 为湿空气的干空气分密度。由于水汽和干空气均遵从理想气体状态方程，所以有：
\[r = \frac{\rho_w}{\rho_d} = \frac{e}{R_wT} / \frac{p-e}{R_dT} = \frac{R_d}{R_w} \frac{e}{p-e} = 0.622 \frac{e}{p-e} \]其中，\(p\) 表示湿空气的总压强，\(e\) 表示其中水汽部分的压强（即水汽压），\(p-e\) 是干空气的压强。干空气的气体常数为 \(R_d\) 水汽的气体常数为 \(R_w\)。在地球大气可观测的温度范围内，\(p >> e\)，所以有：
\[r \approx 0.622 \frac{e}{p} \]因此，在给定的温度条件下，混合比与总压强成反比。
对于饱和的湿空气，水汽质量与干空气质量的比值称饱和水汽混合比（又称饱和混合比），用 \(r_s\) 表示。比如，25℃ 下的饱和混合比为 20g/kg，说明每千克饱和空气中含有 20g 水汽。
7.3.2 比湿
在一团湿空气中，水汽的质量与该团空气总质量（水汽质量加上干空气质量）的比值，称比湿（用 \(q\) 表示），其单位为 g/g，即表示每一克湿空气中含有多少克的水汽（也有用每千克质量湿空气中所含水汽质量的克数表示，即g/kg）。定义式如下：
\[q = \frac{m_w}{m_d + m_w} = \frac{r}{ 1 + r } \]其中，\(m_w\) 为该团湿空气中水汽的质量，\(m_d\) 为该团湿空气中干空气的质量。通常大气中的混合比与比湿都小于 0.04，因此可以简单认为 \(q \approx r\)。
在 T-lnP 图上，等饱和比湿线是根据饱和比湿公式，并利用饱和水汽压的经验公式作积分而得到的。证明过程在这里就省略了。由于等温线就是等饱和水汽压线，而压强 p 随着纵坐标而减少，因此这组等饱和比湿线看起来像一组偏离等温线的近似直线，如下图所示，图中紫色线即为等饱和比湿线：
现在我们把已经接触过的四条线都标注在 T-lnP 图上：
7.4 相对湿度与绝对湿度
7.4.1 相对湿度
相对湿度（用 \(\mathrm{RH}\) 表示）就是空气中的实际水汽压与同温度下的饱和水汽压的比值，也可以指空气中实际水汽含量与同温度下时饱和水汽含量的比值，即：
\[\mathrm{RH} = \frac{e}{E} \times 100\% = \frac{\gamma}{\gamma_s} \times 100\% \]相对湿度直接反映空气距离饱和的程度。当其接近 100％ 时，表明当时空气接近于饱和。当水汽压不变时，气温升高，饱和水汽压增大，相对湿度会减小。
7.4.2 绝对湿度
绝对湿度（用 \(a\) 表示）是指给定体积空气中水汽的质量，定义式如下：
\[a = \frac{m}{V} \]其中，\(m\) 为水汽质量，\(V\) 为空气体积。
绝对湿度不能直接测量，需根据气温和水汽压来推算，在应用上没有水汽压方便。
7.5 露点变化和抬升凝结高度
7.5.1 露点温度
在空气中水汽含量不变，气压一定下，使空气冷却达到饱和时的温度，称露点温度，简称露点（用 \(T_d\) 表示）。其单位与气温相同。当温度为 \(T\)，压强为 \(p\) 时，相对湿度由下式给出：
\[\mathrm{RH} = \frac{w_s (在温度为T_d, 压强为 p时)}{w_s (在温度为T, 压强为 p时)} \times 100\% \]在气压一定时，露点的高低只与空气中的水汽含量有关，水汽含量愈多，露点愈高，所以露点也是反映空气中水汽含量的物理量。
在实际大气中，空气经常处于未饱和状态，露点温度常比气温低（\(T_d < T\)）。因此，根据 \(T\) 和 \(T_d\) 的差值，可以大致判断空气距离饱和的程度。
7.5.2 抬升凝结高度（LCL）
未饱和湿空气块被外力强迫抬升时，因为上升速度快，可以认为是绝热的，此时气块内的水汽压随着环境气压的减小而减小，与此对应，露点温度也降低。气块上升时的干绝热递减率远大于它的露点递减率，气块的温度和露点温度将逐渐接近，在某一高度达到饱和并发生凝结。这个湿空气块因绝热抬升而达到饱和的高度被称为抬升凝结高度（Lifting Condensation Level，LCL）。
因为水汽压 \(e\) 为露点 \(T_d\) 所对应的饱和水汽压，两者有函数关系，所以气块上升的露点变化可写为：
\[\frac{\mathrm{d} T_d}{\mathrm{d} z} = \frac{\mathrm{d} T_d}{\mathrm{d} e} \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} z} \]现在以 \(e\) 和 \(T_d\) 代替克拉珀龙-克劳修斯方程中的 \(e_s\) 和 \(T\) 有：
\[\frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} T_d} = \frac{L_we}{R_w T_d^2} \]由水汽压的公式 \(e = \chi_w p\) 取对数，再对高度求导数得：
\[\frac{1}{e} \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} z} = \frac{1}{p} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z} \]将上两式代入到露点变化的式子得：
\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} T_d}{\mathrm{d} z} &= \frac{e}{p} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z} \bigg/ \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} T_d} \\ &= -\frac{g R_w}{L_w R_d} \frac{T_d^2}{T_v} \\ &\approx -6.3 \times 10^{-6} \frac{T_d^2}{T_v} \end{aligned} \]若取 \(T_d = 280 \mathrm{K}\)，\(T_v = 288 \mathrm{K}\)，则 \(\frac{\mathrm{d} T_d}{\mathrm{d} z} = -0.0017 \mathrm{K/m} = -1.7 \mathrm{K/km}\)。因此，干绝热过程中露点以 \(1.7 \mathrm{K/km}\) 的变化率向上递减。但气块温度以 \(9.8 \mathrm{K/km}\) 递减，下降更快，在温度和露点温度相等的高度就会凝结。
令 \(T_0\) 和 \(T_{d0}\) 分别为地面温度和露点温度，所以有：
\[T(z) = T_0 - 0.98 \times 10^{-2} (z - z_0) \\ T_d(z) = T_{d0} - 0.17 \times 10^{-2} (z - z_0) \]由以上两式可得抬升凝结高度的估算公式：
\[z_{LCL} = 123(T_0 - T_{d0}) \]上式可估算对流云底的高度，不过由于地面的温度露点差 \(T_0 - T_{d0}\) 在一天中可变化几度，再加上气块垂直运动所做的绝热假定与实际情况有一定差距，这个公式有时与实际情况的差距很大。
7.6 两个例子理解湿度参数
7.6.1 往封闭空间加入水汽的例子
| 状态 | 空气总质量 | 水汽含量 | 比湿 | 温度 | 该温度下的饱和混合比 | 相对湿度 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 初始状态 | 1kg | 5g | 5g/kg | 25℃ | 20g/kg | 5/20 = 25% |
| 增加 5g 水汽 | 1kg | 10g | 10g/kg | 25℃ | 20g/kg | 10/20 = 50% |
| 增加 10g 水汽 | 1kg | 20g | 20g/kg | 25℃ | 20g/kg | 20/20 = 100% |
7.6.2 将封闭空间降温的例子
| 状态 | 空气总质量 | 水汽含量 | 比湿 | 温度 | 该温度下的饱和混合比 | 相对湿度 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 初始状态 | 1kg | 7g | 7g/kg | 20℃ | 14g/kg | 7/14 = 50% |
| 冷却到 10 ℃ | 1kg | 7g | 7g/kg | 10℃ | 7g/kg | 7/7 = 100% |
| 冷却到 0 ℃ | 1kg | 3.5g（凝结 3.5g 水） | 3.5g/kg | 0℃ | 3.5g/kg | 3.5/3.5 = 100% |