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底层结构
对map/multimap/set/multiset来说，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。
一:
1 avl树的概念
AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他们在 1962 年的论文 "An algorithm for the organization of information" 中发表了它。
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
(1)它的左右子树都是AVL树
(2)左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
(3)平衡因子=右子树-左子树
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O()
搜索时间复杂度为O()。
2 AVL树节点的定义
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>*pLeft;
AVLTreeNode<T>*pRight;
AVLTreeNode<T>*pParent;
T _data;
int _bf;
};
3 AVLTree相关操作：
（1）AVLTree结点的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
// ...
// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
/*
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功，不需继续向上更新
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
bool Insert(const T& data)
{
while(pParent) //只对当前结点的祖先结点的平衡因子有影响
{
//更新双亲的平衡因子
if(pCur==pParent->pLeft)
pParent->_bf--;
else
pParent->bf++;
// 更新后检测双亲的平衡因子
if(pParent->bf==0)
break;
else if(pParent->bf==1 || pParent->bf==-1)
{
// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
pCur=pParent;
pParent=pCur->_pParent;
}
else
{ // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent 为根的树进行旋转处理
if(pParent->bf==2)
{
//
}
else
{
//
}
}
}
return ture;
}如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
/* 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增 加 了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加 一层， 即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子 树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子 即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
（1）. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
（2）.60可能是根节点，也可能是子树 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
void _RotateR(PNode pParent)
{
// pSubL: pParent的左孩子15
// pSubLR: pParent左孩子的右孩子，
PNode pSubL=pParent->pLeft;
PNode pSubLR=pSubL->pRight;
// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
pParent->_pLeft= pSubLR;
// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
if(pSubLR)
pSubLR->_pParent=pParent;
// 60 作为 30的右孩子
pSubL->_pRight=pParent;
// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
pNode pPParent=pParent->_pParent;
// 更新60的双亲
pParent->_pParent=pSubL;
// 更新30的双亲
pSubL->pParent=pPParent;
// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
if(pPParent==NULL)
{
_pRoot=pSubL;
pSubL->pParent=NULL;
}
else
{
// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
if(pPParent->pLeft==pParent)
pPParent->pLeft=pSubL;
else
pPParent->pRight=pSubL;
}
// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
pParent->bf=pSubL->bf=0;
}2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
实现及情况考虑可参考右单旋。
3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{
PNode pSubL = pParent->_pLeft;
PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
int bf = pSubLR->_bf;
// 先对30进行左单旋
_RotateL(pParent->_pLeft);
// 再对90进行右单旋
_RotateR(pParent);
if(1 == bf)
pSubL->_bf = -1;
else if(-1 == bf)
pParent->_bf = 1;
}4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
参考右左双旋。
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
(3)AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
（1）每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
（2）节点的平衡因子是否计算正确
int _Height(pNode pRoot);
bool _IsBalaceTree(PNode pRoot)
{ // 空树也是AVL树
if(nullptr==pRoo//
计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差t)return true;
int leftHeight =_Height(Root->pLeft);
int rightHeight =_Height(Root->pRight);
int diff =rightHeight-leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if(diff!= pRoot->bf || (dif>! || diff<-1))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalaceTree(pRoot->pLeft) && _IsBalaceTree(pRoot->pRight);
}(4)AVL树的删除
因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
(5)AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
标签：及其,AVL,插入,因子,pParent,操作,平衡,节点 From： https://blog.csdn.net/2303_77348867/article/details/140187988