自然界很多领域如天文、物理、生物、化学等的运动和状态的变化受多个因素影响，而偏微分方程恰好可以描述这种多变量问题，因此被引入科学研究是一种必然。偏微分方程早期的时侯用来描述机械物体和流体的自然运动和物理规律，且其应用领域不断拓展，成为描述诸多自然界现象的数学模型的基袖。近年来，在图像处理和计算机视觉领域显示出了强大的生命力。在用偏微分方程解决实际问题时，方程的求解是非常关键的，由于解析解难以获得，所以常常釆用数值计算的方法。
偏微分方程方法在图像处理中的应用兴起于世纪年代，经过近几十年的发展，取得了显著的成果，这主要归因于偏微分方程是基础数学的一个重要分支，有着完备的理论体系和稳健的数值计算方法。基于偏微分方程的图像处理的基本思想是，建立符合图像特征的偏微分演化方程，方程的解就是图像处理的结果，因此建立合理的偏微分模型是该方法的核心和关键。通常偏微分方程的获取有以下两个渠道：一是将期望的图像变化与某种物理演化过程进行类比，基于既有的物理演化方程进行图像处理，典型的有热扩散方程，用于图像处理时是二维的，之后的许多模型都是在热扩散方程的基础上发展起来的；二是建立描述图像的某种泛函，通过变分法得到该泛函的欧拉拉格朗曰（方程，就是所需要的偏微分方程，典型的有全变分（模型。偏微分方程方法用于图像处理具有独特的优势具有更强的局域自适应性；（高度的灵活性。偏微分方程在图像中的应用是多方面的，包括图像降噪、图像分割、图像增强、图像复原、纹理分析等等。
然而本文将偏微分方程应用于一维信号降噪，运行环境为MATLAB R2021B。
clear
%create the initial signal
n=99;
h = 1/(n-1);
dt = 0.001;
D=1.5;
X=0:h:1;
u0 = 1:n+2;
u0(1:round(0.2*n+2)) = 2;
u0(round(0.9*n+2):n+2) = 2;
u0(round(0.2*n+2):round(0.4*n+2))=1;
u0(round(0.7*n+2):round(0.9*n+2))=1;
u0(round(0.4*n+2):round(0.7*n+2))=0.5;
%create noisy signal
noise = 0.1 * randn(1,n);
noise = [0,noise,0];
noisy_u0 = u0+noise;
u1 = forth_order(noisy_u0,1,1000,n,dt,D,1);
tiledlayout(3,1)
% First plot
ax1 = nexttile;
plot(X,u0(2:n+1))
title('Original Signal')
% Second plot
ax2 = nexttile;
plot(X,noisy_u0(2:n+1))
title('Noisy Signal')
% Third plot
ax3 = nexttile;
plot(X,u1(2:n+1,end))
title('Denoised Signal With Fourth Order PDE')
linkaxes([ax1 ax2 ax3],'xy')
ax1.YLim = [0 2.5];
function u = forth_order(u0, h, nt,n, dt, D,lambda)
%create solution matrix
u = zeros(n+2,nt);
u(:,1)=u0;
t = 1;
err=5;
%initiate time loop
while (t<nt)
v = zeros(n+2,1);
for i=3:n
dxxxx = -1/h^4. * (u(i-2,t)-4*u(i-1,t)+6*u(i,t)-4*u(i+1,t)+u(i+2,t));
v(i) = D*dxxxx+lambda*(u0(i)-u(i,t)));
end
%check error
u(:,t+1) = u(:,t) + dt*v;
u(1,t+1)=2;u(2,t+1)=2;u(n+1,t+1)=2;u(n+2,t+1)=2;
t=t+1;
end
end
完整代码获取：https://mbd.pub/o/bread/ZpWXlpZu
擅长领域：现代信号处理，机器学习，深度学习，数字孪生，时间序列分析，设备缺陷检测、设备异常检测、设备智能故障诊断与健康管理PHM等。
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