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[模式识别复习笔记] 第7章 聚类

时间:2024-06-21 16:33:50浏览次数:22  
标签:样本 复习 模式识别 聚类 mu 算法 text bm

1. 聚类

给定样本集 \(D = \{ \bm{x}_1, \bm{x}_2, ..., \bm{x}_n \}\),\(\bm{x}_i \in \mathbb{R}^d\)。

通过聚类将 \(n\) 个样本划分为 \(k\) 个 簇划分 \(\mathcal C = \{ C_1, C_2, ..., C_k \}\),使得:

\[C_i \cap C_j = \emptyset, \ \forall i \not = j \ 且 \ \bigcup_{i=1}^{k}C_i = D \]

找到一个划分 \(\mathcal C = \{ C_1, C_2, ..., C_k \}\) ,最小化误差平方和:

\[\min J(C_1, \ldots, C_k) = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{\bm{x} \in C_i} ||\bm{x} - \bm{\mu}_i||^2 \]

其中 \(\bm{\mu}_i\) 为第 \(i\) 个簇 \(C_i\) 的均值向量:

\[\bm{\mu}_i = \frac{1}{|C_i|}\sum_{\bm{x} \in C_i} \bm{x} \]

  • 样本向量 \(\bm{x}_j\) 与均值向量 \(\bm{\mu}_i\) 之间的距离,\(d_{ji} = \text{dist}_f(\bm{x}_j, \bm{\mu}_i)\),其中函数 \(f\) 可以是 欧几里得距离 或者 曼哈顿距离


2. \(k\text{-means}\)

2.1 算法步骤

  1. 随机选取 \(k\) 个簇中心 \(\bm{\mu}_1, \ldots, \bm{\mu}_k\)。

  2. 计算各个样本 \(\bm{x}_j\) 到各个簇中心 \(\bm{\mu}_i\) 的距离。并距离 \(\bm{x}_j\) 找到 最近的簇中心

    \[\lambda_j = \text{argmin}_{i = 1, 2, \ldots, k} d_{ji} \]

    将 \(\bm{x}_j\) 划分到该簇中:\(C_{\lambda_j} = C_{\lambda_j}\cup \bm{x}_j\)

  3. 重新计算每个簇的簇中心 \(\bm{\mu}_i, \ i = 1, \ldots, k\):

    \[\bm{\mu}_i^{'} = \frac{1}{|C_i|}\sum_{\bm{x}\in C_i}\bm{x}_i \]

    用重新计算的簇中心(均值向量)对簇中心进行更新。

  4. 如果簇中心没有发生变化,停止算法否则,并回到步骤 2

时间复杂度为 \(O(tkn)\),其中 \(n\) 是样本数,\(k\) 是簇的数目,\(t\) 是算法迭代次数。一般 \(t\) 和 \(k\) 较小,因此时间复杂度近似为 \(O(n)\)。



2.2 算法的缺点

  • 对于非凸/非球形的簇,聚类效果不佳。

  • 对于各簇中样本规模差异太大、不同密度的簇,聚类效果不佳。

  • 最终的聚类结果 受初始簇中心的影响,因此 聚类结果不唯一

  • 噪声/离群点很敏感。(因此通常在利用K-Means算法执行聚类分析前,要去除离群点。)



3. \(k\text{-medoids}\)

3.1 算法步骤

  1. 随机选取 \(k\) 个样本 作为初始的簇中心 \(\bm{\mu}_1, \ldots, \bm{\mu}_k\)。

  2. 计算剩余的各个样本 \(\bm{x}_j\) 到各个簇中心 \(\bm{\mu}_i\) 的距离。并距离 \(\bm{x}_j\) 找到 最近的簇中心

    \[\lambda_j = \text{argmin}_{i = 1, 2, \ldots, k} d_{ji} \]

    将 \(\bm{x}_j\) 划分到该簇中:\(C_{\lambda_j} = C_{\lambda_j}\cup \bm{x}_j\)

  3. 重新计算每个簇的簇中心 \(\bm{\mu}_i, \ i = 1, \ldots, k\):

    找到一个样本点 \(j\),满足该簇中所有其他点到该样本点 \(j\) 距离之和最小。(称为 \(\text{medoid}\))

    \[j = \text{argmin}_{\bm{x} \in C_i}\sum_{\bm{x}^{'} \in C_i} ||\bm{x} - \bm{x}^{'}||^2 \]

    用重新计算的簇中心(一个样本点)对簇中心进行更新。

  4. 如果簇中心没有发生变化,停止算法否则,并回到步骤 2



3.2 算法特点

  • 对噪声/离群点更鲁棒。但簇的medoid可以削弱离群点的影响。

  • 算法的时间复杂度更高,为 \(O(tkn^2)\)。每次重新计算所有簇中心需要枚举所有的样本点,并计算到簇中其他样本点的距离之和,因此是 \(n^2\) 的。



补充

基于 密度的聚类算法(如 \(\text{DBSCAN}\))能 发现任意形状的簇,且 对噪声/离群点不敏感

基于划分(如 \(k\text{-means}, k\text{-medoids}\))和基于层次的聚类算法 只能发现 球状簇

标签:样本,复习,模式识别,聚类,mu,算法,text,bm
From: https://www.cnblogs.com/MarisaMagic/p/18260789

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