概念

机器数、真值

• 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用机器数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是0000 0011。如果是 -3 ，就是 100 00011 。

那么，这里的 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。

• 真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。

例如上面的有符号数 1000 0011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3，而不是形式值131（1000 0011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

原码、反码、补码

原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。机器数包含了原码、反码、补码的表示形式。

• 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。比如：如果是8位二进制：

[+1]原= 0000 0001

[-1]原= 1000 0001

第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：（即第一位不表示值，只表示正负。）

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

• 反码

反码的表示方法是：

正数的反码是其本身；

负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反

[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反

可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。

反码表示在计算机中往往作为数码变换的中间环节。

• 补码

补码的表示方法是：

正数的补码就是其本身；

负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。(也即在反码的基础上+1)

[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补

[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反= [1111 1111]补

对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码再计算其数值。

为什么用反码和补码

计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂，所以要把对于负数的减法运算转成加法运算。

将钟表想象成是一个1位的12进制数。例如钟表上的时间为6点，如果我们希望将时间设置为4点，那么我们可以将钟表往回拨2个小时，即“-2”，或者我们可以将钟表往前拨10个小时，即“+10”

1. 往回拨2个小时：6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时：(6 + 10)mod 12 = 4

这样就将减法计算转成了加法计算。

类似钟表，计算机中的数值也是有一定范围的，所以同样可以将计算机中的减法运算改为加法运算，即将真值为负的机器数转为补码形式再做加法，实际上是将负数转换成了这个它的同余数（概念自行百度）。

补码举例：

2-1 = 2+(-1) = [0000 0010]原+ [1000 0001]原= [0000 0010]补 + [1111 1111]补

如果把[1111 1111]当成原码，去除符号位，则[0111 1111]原 = 127

相当于

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

到底什么是补码

所以到底什么是补码？

其实负数的补码等于反码+1只是补码的求法，而不是补码的定义，很多人以为求补码就要先求反码，其实并不是，那些计算机学家并不会心血来潮的把反码+1就定义为补码，只不过补码正好就等于反码+1而已。

其实负数的补码，是能够和其相反数相加通过溢出从而使计算机内计算结果变为0的二进制码。这是补码设计的初衷，具体目标就是让1+（-1）=0，这利用原码是无法得到的：

0001(1) + 1001(-1) = 1010(-2)

而在补码中：

0001(1补) + 1111(-1补) = 10000(1溢出)

所以对于一个n位的负数-X，有如下关系

X_补 + (-X)_补 = 100...0(n个0) = 2ⁿ

假设寄存器是n位的，那么-X的补码应该是2ⁿ - X的二进制编码

例如：

X = - 0b11(-3) ，四比特表示原码 = 1011(11)，对应反码为 = 1100(12)，补码为1101(13);
如果寄存器4位，-3对应的补码二进制数为13，刚好是2⁴-3

正十进制数X补码等于其本身，n位寄存器下-X的补码等于2ⁿ-X对应的二进制编码。

已知补码如何求原码

二进制

补码的补码就是原码

十进制

n位寄存器下-X的补码等于2ⁿ-X对应的二进制编码。

（1）十进制的情况下，如果给的补码是无符号数2ⁿ-X，那么原码即(2ⁿ-X) - 2ⁿ = -X:
例如前面-3补码无符号数是13，对应的原码就是13-2⁴=-3

（2）十进制的情况下，如果给的补码是有符号数-Y，对应的无符号数就是2^n-1 + Y，那么原码就是(2^n-1 + Y)- 2ⁿ=Y-2^n-1:
例如前面-3补码有符号数是-5，对应的原码就是5-2³ = -3

参考

原码、反码、补码
二进制的原码、反码、补码
补码的计算方法