守卫者的挑战
题目描述
打开了黑魔法师 Vani 的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押 applepi 的监狱的所在地。突然，眼前一道亮光闪过。“我，Nizem，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为K的包包。
擂台赛一共有 \(N\) 项挑战，各项挑战依次进行。第 \(i\) 项挑战有一个属性 \(a_i\)，如果 \(a_i\geq 0\)，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为 \(a_i\) 的包包；如果 \(a_i=-1\)，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为 \(1\) 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把 【获得的所有的】地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有N项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功 \(L\) 次才能离开擂台。
队员们一筹莫展之时，善良的守卫者 Nizem 帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第 \(i\) 项挑战成功的概率为 \(p_i\%\)。现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。
输入格式
第一行三个整数 \(N,L,K\)。
第二行 \(N\) 个实数，第 \(i\) 个实数 \(p_i\) 表示第 \(i\) 项挑战成功的百分比。
第三行 \(N\) 个整数，第 \(i\) 个整数 \(a_i\) 表示第 \(i\) 项挑战的属性值.
输出格式
一个整数，表示所求概率，四舍五入保留 \(6\) 位小数。
样例 #1
样例输入 #1
3 1 0
10 20 30
-1 -1 2
样例输出 #1
0.300000
样例 #2
样例输入 #2
5 1 2
36 44 13 83 63
-1 2 -1 2 1
样例输出 #2
0.980387
提示
在第一个样例中，若第三项挑战成功，如果前两场中某场胜利，队员们就有空间来容纳得到的地图残片，如果挑战失败，根本就没有获得地图残片，不用考虑是否能装下；若第三项挑战失败，如果前两场有胜利，没有包来装地图残片，如果前两场都失败，不满足至少挑战成功1次的要求。因此所求概率就是第三场挑战获胜的概率。
对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(0\leq K\leq 2000\)，\(0\leq N\leq 200\)，\(-1\leq a_i\leq 1000\)，\(0\leq L\leq N\)，\(0\leq p_i\leq 100\)。
概率DP+记忆化搜索
题解竟然没有记搜！！！
题意
给出每一局游戏赢的概率和得分或者增加背包容量，
求最终至少赢 \(L\) 局并且得分不大于容量的概率。
得分可以看成大小为 \(-1\) 的背包，因此直接减去就好啦~~
解析
暴力 dfs(30pts)
审题结束，开始考虑暴力，
我们需要知道的值有赢的次数 \(win\)、背包容量（包括减去的得分）\(volum\)、比赛场次 \(now\)。
如果赢了 \(win+1,volum+a_{k+1}\)，否则不变。
然后记录每种情况的概率就行啦~~
void dfs(int now,double t,int vm,int win)
{
if(now==n)
{
if(vm>=0&&win>=l) ans+=t;
return;
}
dfs(now+1,t*p[now+1],vm+a[now+1],win+1);
dfs(now+1,t*(1-p[now+1]),vm,win);
}
记忆化搜索（100pts）
既然知道 dfs 的写法，改一改记忆化就很简单啦！
设计状态 \(f_{now,win,volum}\)，表示含义如上。
\[f_{now,win,volum}\\=dfs(now+1,win+1,volum+a_{now+1})\times p_{now+1}\\+ dfs(now+1,win,volum)\times (1-p_{now+1}) \]还有一个小问题就是背包容量太大了，数组开不下，还会有负数，
我们考虑所有大于 \(n\) 的容量其实是等价的，所以赋成 \(n\)，
至于负数整体加 \(n\) 就行啦~~
AC 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 205;
int n,l,k,a[N],tot,sum[N],be;
double p[N],f[N][N<<1][N],ans;//f[num][win][vm](vm=min(a[i],n))
bool vs[N][N<<1][N];
double dfs(int now,int win,int vm)
{
if(now==n)
{
vs[now][win][vm+be]=1;
if(win>=l&&vm>=0) return f[now][win][vm+be]=1;
else return f[now][win][vm+be]=0;
}
if(vs[now][win][vm+be]) return f[now][win][vm+be];
f[now][win][vm+be]=dfs(now+1,win+1,vm+a[now+1])*p[now+1]+dfs(now+1,win,vm)*(1-p[now+1]);
vs[now][win][vm+be]=1;
return f[now][win][vm+be];
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&l,&k); be=n;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]),p[i]/=100;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
if(a[i]>n) a[i]=n;
}
printf("%lf\n",dfs(0,0,k));
return 0;
}