守卫者的挑战
题目描述
打开了黑魔法师 Vani 的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押 applepi 的监狱的所在地。突然，眼前一道亮光闪过。“我，Nizem，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为K的包包。
擂台赛一共有 \(N\) 项挑战，各项挑战依次进行。第 \(i\) 项挑战有一个属性 \(a_i\)，如果 \(a_i\geq 0\)，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为 \(a_i\) 的包包；如果 \(a_i=-1\)，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为 \(1\) 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把 【获得的所有的】地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有N项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功 \(L\) 次才能离开擂台。
队员们一筹莫展之时，善良的守卫者 Nizem 帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第 \(i\) 项挑战成功的概率为 \(p_i\%\)。现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。
解题思路
这题我们首先可以想到用背包DP概率期望来解决，设 \(F[i][j][k]\)，表示已经打了 \(i\) 场比赛，赢了 \(j\) 场，现在的背包容量为 \(k\)，\(p[i]\) 表示第 \(i\) 场的概率，所以要建一个三维数组。
但是，问题在于 \(N*N*K\) 的数组大小显然是开不下的,但是背包容量大于等于 \(K\) 的时候，是始终成立的，所以我们可以视为一种情况,空间开够了考虑 DP。我们可以推出：
注意输赢到要考虑哟。
然后我们考虑时间复杂度，是小于\(O(n^3)\)的
格外考虑对负数的处理，即开\(2*n\)即可。
这样就完成啦!
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define D double
#define rint int
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define lid (rt<<1)
#define rid (rt<<1|1)
#define speed() ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int N = 205;
int n,l,K,a[N];
double p[N],f[N][N][2*N];
int main()
{
speed();
cin>>n>>l>>K;
K=min(K,n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>p[i];
p[i]=p[i]/100.0;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
f[0][0][K+n]=1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<=i;j++)
{
for(int k=0;k<=2*n;k++)
{
if(!f[i][j][k])continue;
if(k+a[i+1]>=2*n)
{
f[i+1][j+1][n*2]+=f[i][j][k]*p[i+1];
f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]*(1-p[i+1]);
}else
{
f[i+1][j+1][k+a[i+1]]+=f[i][j][k]*p[i+1];
f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]*(1-p[i+1]);
}
// cout<<i<<" "<<j<<" "<<k<<" "<<f[i][j][k]<<endl;
}
}
}
double ans=0;
for(int i=l;i<=n;i++)
{
for(int j=n;j<=2*n;j++)
ans+=f[n][i][j];
}
printf("%.6lf",ans);
return 0;
}
当然，还少不了记忆化搜索的做法啦！具体细节请看代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define D double
#define rint int
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define lid (rt<<1)
#define rid (rt<<1|1)
#define speed() ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int N = 205;
int n,l,K,a[N];
double p[N],f[N][N][2*N];
bool vis[N][N][2*N];
double dp(int x,int y,int c)
{
// cout<<x<<" "<<y<<" "<<c<<endl;
if(n-x<l-y)return 0;//这里有个小小的优化，当剩下的场数就算全赢也小于L,那么是不成立的情况
double &v=f[x][y][c];
if(vis[x][y][c])return v;
vis[x][y][c]=1;
if(x==n)//考虑边界问题
{
if(y>=l&&c>=n)return v=1;//只有背包容量不为负数，赢的场数满足条件就返回1即可
else return 0;
}
if(c+a[x+1]>=2*n)
{
v+=dp(x+1,y+1,2*n)*p[x+1];
v+=dp(x+1,y,c)*(1-p[x+1]);
}else
{
v+=dp(x+1,y+1,c+a[x+1])*p[x+1];
v+=dp(x+1,y,c)*(1-p[x+1]);
}
return v;
}
int main()
{
speed();//正常输入输出
cin>>n>>l>>K;
K=min(K,n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>p[i];
p[i]=p[i]/100.0;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
printf("%.6lf",dp(0,0,n+K));
return 0;
}