【瞎写】熊是什么颜色的？

网上流传着一个这样的地理题：

一个探险家在野外扎了顶帐篷，之后他往南走了10公里，往西走了10公里，再往北走了10公里后，发现有一头熊在撕扯他的帐篷。问这头熊是什么颜色的？

答案大家都能猜到，探险家的帐篷在北极，因此这头熊是白色。这是因为，一般情况下，如果走的路径不是一个闭合的路线，是不会返回原点的。而在北极，不存在东西方向，所有方向都是南，因此实际结果是走了一个闭合三角形，最终只需要走三个方向就可以返回原点。

如果这道题我们抛去熊不谈，如果从地球上某个点，先往南走10公里，再往西走10公里，再往北走10公里后，可以回到原来的点，那除了北极点外，这个点还可能在什么地方？

我们首先考虑一下，所谓的往东南西北走是什么意思。我们描述地球表面上的坐标时，使用经纬度作为位置参考，同样的纬度连成的线称为纬线，同样的经度连成的线称为经线。经线也称子午线，定义为地球表面南北两极的大圆线上的半圆弧，任意两根经线长度相等，相交于南北两极点，指示南北方向。纬线定义为地球某点随地球自转形成的轨迹，任意一根纬线都是圆形且两两平行，长度为赤道周长乘以纬度的余弦，赤道最长，离赤道越远的纬线，周长越短。纬线指示东西方向。

我们先往南走，相当于沿着某一条经线往南走，再往西走，相当于绕着纬圈所在的圆在走，然后再往北走，同样是沿着一条经线往北走。我们最后一步的往北走实际上就是第一步往南走的一个相反的操作，那么，如果我们中间的那个往西走10公里的操作能够让我们的位置不发生变动，那么不就可以让我们回到原点了吗？

由于纬圈是一个闭合的圆，而且不同纬度的纬圈的长度是不同的，试想，如果在某一个纬度的纬圈长度是10/n公里，n为一个正整数，那么向西走10公里，不就相当于我们绕着这个纬圈走了n圈之后又回到了原来的地方吗？

那么这个纬度是多少呢？

前面我们知道，纬线的长度等于赤道周长乘以纬度（弧度表示）的余弦，即\(c=C*cos(\phi)\)。我们要求这个值是等于10/n。即，\(C*cos(\phi)=10/n\)，则\(\phi=\arccos(\frac{10}{n\cdot C})\)，换算成角度，\(\psi=\arccos(\frac{10}{n\cdot C})\cdot \frac{180}{\pi}\)。

我们得到这个位置之后，只需要再往北移动10公里，就可以得到原点的位置。这样，首先从原点往南走10公里，走到这个纬圈长度为10/n公里的纬度，然后绕着纬圈绕n圈，回到原位置，然后往北走10公里，回到原点。

这个纬度和是南纬还是北纬无关，如果是在南纬，那原点在纬圈北边10公里，这个没有问题，但是如果在北纬，那么这个纬圈距离北极很可能不足10公里，所以我们要首先确定纬圈到北极的距离。

我们先确定一下长度为10公里为北纬圈距离北极的距离，如果这个距离已经小于10公里，那么北纬就不符合要求了。

为了方便计算，我们视赤道为40000公里，且地球是一个正球，其半径为\(20000/\pi\)。则纬圈长度为10公里的纬度（弧度制）为\(\arccos(\frac{10}{40000})=\arccos(1/4000)\approx 1.5705463267922926 \quad rad\)

则纬圈上的点到北极点构成的弧长为\(L=\alpha\times r=(\pi-\psi)\times(20000/\pi)\approx 1.591549447496536\)

也就是说，周长为10公里的北纬圈上的点，距离北极，只有不到2公里远，远远小于10公里，所以是不可能在此点再往北走10公里的。

综上，如果从地球上某个点，先往南走10公里，再往西走10公里，再往北走10公里后，可以回到原来的点，那么这个点在北半球只有一个北极点可以满足条件，在南半球，只要是在纬度（角度制）符合\(\psi=\arccos(\frac{10}{n\cdot C})\cdot \frac{180}{\pi}\)上的点，再往北走10公里，其中为n正整数，C为地球半径，这些点都可以满足条件。

当然，这个纬度已经到了南纬89.9°了，除了少数微生物之外，几乎没有生物存在了，更不会有熊存在了，如果非要较真的话，能够存在的熊只有透明的水熊（虫）吧。