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动态规划

时间:2024-05-21 15:08:52浏览次数:21  
标签:right int max times 背包 动态 规划 left

DP常见考虑角度

状态表示

以0/1背包问题为例:

  • 所求解问题用几维变量表示。
    • 常见的两维: $ f_{i,j} $ 。
  • 两个考虑角度:集合+属性
    • 表示的集合是什么: 所有选法的集合。
      • 条件:只从前 \(i\) 个物品里面选,总体积 \(\leqslant j\) 。
    • 集合的属性是什么: 最大值、最小值、元素数量
  • \(f_{i,j}\) 表示:从前 \(i\) 个物品中选,所有选法集合里面,总体积 \(\leqslant j\) 的最大价值,答案所求即为 \(f_{N,V}\) 。

状态计算

  • 对应集合的划分
  • 把当前集合划分成若干的更小的子集,使得每一个子集都可以由前面更小的集合算出来。
    • 举例背包问题: 不包含物品 \(i\) or 包含物品 \(i\) 。

DP优化

  • 对状态方程做等价变形。

DP时间复杂度

状态数量\(\times\)求每一个状态所花的时间。

背包问题

背包总体积为 \(V\) 。总共有 \(N\) 件物品,每个物品所占体积为 \(v_i\) ,价值为 \(w_i\)。

01背包

每件物品最多使用一次。

$$f_{i,j} = max\left (f_{i-1,j} ,f_{i-1,j-v_i} + w_i \right ) $$.

for (int i=1;i<=N;i++){
    for (int j=1;j<=V;j++){
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if (j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }
}

空间复杂度降到一维,\(O \left( V \right)\):

for (int i=1;i<=N;i++){
    for (int j=V;j>=v[i];j--){
        f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}

注意 \(f_j\)什么时候代表 \(f_{i,j}\) , 什么时候降到 \(f_{i-1,j}\)。

完全背包

每件物品都有无限个。

$$f_{i,j} = max\left (f_{i-1,j} ,f_{i-1,j-k \times v_i} + k \times w_i \right ) , k \times v_i \leqslant j$$.

for (int i=1;i<=N;i++){
    for (int j=0;j<=V;j++){
        for (int k=0;k*v[i]<=j;k++){
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
        }
    }
}

优化思路:
时间复杂度优化到二维,\(O \left( NV \right)\):
\( f_{i,j} = max\left (f_{i-1,j} ,f_{i-1,j-v_i} + w_i , f_{i-1,j-2 \times v_i} + 2 \times w_i ,...f_{i-1,j-k \times v_i} + k \times w_i\right) \)
\( f_{i,j-v_i} = max\left ( \quad \quad f_{i-1,j-v_i} ,f_{i-1,j-2 \times v_i} + w_i , f_{i-1,j-3 \times v_i} + 2 \times w_i ,...,f_{i-1,j-k \times v_i} + k-1 \times w_i\right) \)
因此:
$$f_{i,j} = max\left (f_{i-1,j} ,f_{i,j-v_i}+w_i \right ) $$.

for (int i=1;i<=N;i++){
    for (int j=1;j<=V;j++){
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if (j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
    }
}

空间复杂度降到一维,\(O \left( V \right)\):

for (int i=1;i<=N;i++){
    for (int j=v[i];j<=V;j++){
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}

多重背包

每件物品最多使用 \(s_i\) 个。
$$f_{i,j} = max\left (f_{i-1,j} ,f_{i-1,j-k \times v_i} + k \times w_i \right ) , k \leqslant s_i , k \times v_i \leqslant j$$.

for (int i=1;i<=N;i++){
    for (int j=0;j<=V;j++){
        for (int k=0;k*v[i]<=j && k<=s[i];k++){
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
        }
    }
}

多重背包问题的优化

二进制优化枚举\(0-s_i\),时间复杂度降到 \(O \left( NVlogS \right)\)。

分组背包问题

有多组物品,每一组物品里面最多选一个。

线性DP

区间DP

标签:right,int,max,times,背包,动态,规划,left
From: https://www.cnblogs.com/albuszhou/p/18204077

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