CF1019C Sergey's problem

很巧妙的构造题。

思路

首先我们可以把这题分成两个部分：

• 解决覆盖问题
• 解决边冲突问题

\(vis_i\) 为 \(i\) 点是否被覆盖的标记，\(cis_i\) 为 \(i\) 点是否被选的标记。

part1 覆盖问题

从小到大枚举 \(i\)，对于点 \(i\) 如果它没被覆盖，那么我们把点 \(i\) 标为被覆盖并且使这个点被选中，存在有向边 \(i->j\) 的 \(j\) 标为被覆盖。

part2 冲突问题

从大到小枚举 \(i\)，对于点 \(i\) 如果它被选中，那么我们把这个点 \(i\) 存在有向边 \(i->j\) 的点 \(j\) 的选中标记去掉。

这样的答案就是一组合法答案。

证明：

第一个部分，满足了被选中点存在边冲突当且仅当 \(u>v\) 且存在边 \(u->v\) 不存在边 \(v->u\)。

第二个部分，证明：一个点进行了二部分的操作后一定会被留下。

设点 \(u\) 进行完二部分操作后被删除，不妨设删除 \(u\) 的点为 \(v\)，那么肯定有 \(u>v\) 且存在边 \(v->u\)，与第一部分保证的情况产生冲突，故得证。

\(u\) 删除产生冲突的点后，对于产生冲突的点所覆盖的点，\(u\) 一定可以覆盖到（覆盖距离是 \(2\)）。

易得经过一部分后所有的点都已处于被覆盖或被选中的状态，所有经过操作二后，所有的点亦处于被选中或被覆盖的状态。

得证。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1e6+5;

struct Edge
{
    int tot;
    int head[maxn];
    struct edgenode{int to,nxt;}edge[maxn*2];
    inline void add(int x,int y)
    {
        tot++;
        edge[tot].to=y;
        edge[tot].nxt=head[x];
        head[x]=tot;
    }
}G;

int n,m,tot;

bool vis[maxn],cis[maxn];

inline void solve1(int u)
{
    vis[u]=true;cis[u]=true;
    for(int i=G.head[u];i;i=G.edge[i].nxt)
    {
        int v=G.edge[i].to;
        vis[v]=true;
    }
}
inline void solve2(int u)
{
    for(int i=G.head[u];i;i=G.edge[i].nxt)
    {
        int v=G.edge[i].to;
        cis[v]=false;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        G.add(x,y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) solve1(i);
    for(int i=n;i;i--) if(cis[i]) solve2(i);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(cis[i]) tot++;
    printf("%d\n",tot);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(cis[i]) printf("%d ",i);
}