cdq分治/逆序对 一点点总结

归并排序求普通逆序对问题

#include<bits/stdc++.h>
#define IN inline
#define R register int
using namespace std;
const int N=5e5+5;    
typedef long long ll;
IN int read()
{
    int f=1;char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') f=-1;int x=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
#define in(x) x=read()
ll ans;
int n,a[N],b[N],k;
void merge_sort(int l,int r)
{
    if(l==r) return ;
    int mid=l+r>>1;
    merge_sort(l,mid);merge_sort(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(a[i]<=a[j]) b[k++]=a[i++];
        else 
        {
            ans+=(ll)mid-i+1;
            b[k++]=a[j++];
        }
    } 
    while(i<=mid) b[k++]=a[i++];
    while(j<=r) b[k++]=a[j++];
    for(R i=l;i<k;i++) a[i]=b[i];
}
int main()
{
    in(n);
    for(R i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    merge_sort(1,n);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
} 

1.注意不能重复统计

因为一对逆序对(ai,aj)只要在i位置或者j位置统计就好了，所以只要在if else的一个分支里面统计就行

2.统计答案的时机

只要ai > aj，那么mid + 1 ~ j 都比ai小，这时候直接统计就行

cdq分治求三维偏序

#include <bits/stdc++.h>
#define R(x) x=read()
using namespace std;

inline int read()
{
    int x = 0, f = 1;char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9')
    {
        if(ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9')
    {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

const int N = 1e5 + 5, M = 2e5 + 5;

struct Element{
    int a, b, c, cnt, res;
    bool operator != (const Element &tmp) const
    {
        if(a != tmp.a) return true;
        if(b != tmp.b) return true;
        if(c != tmp.c) return true;
        return false;
    }
};

bool cmpA(Element x, Element y)
{
    if(x.a != y.a)  return x.a < y.a;
    if(x.b != y.b)  return x.b < y.b;
    return x.c < y.c;
}

Element e[N], re[N];

int n, k, idx;

//树状数组

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

int tr[M];

void update(int x, int v)
{
    for(int i = x; i <= k; i+=lowbit(i))
        tr[i] += v;
    return;
}

int query(int x)
{
    int res = 0;
    for(int i = x; i; i-=lowbit(i))
        res += tr[i];
    return res;
}

//临时数组
Element tmpE[N];

bool cmpB(Element x, Element y)
{
    if(x.b != y.b)  return x.b < y.b;
    return x.c < y.c;
}

void solve(int l, int r)
{
    if(l == r)
        return;
    int mid = l + r >> 1;
    solve(l, mid); solve(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    /*while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(re[i].b <= re[j].b) 
        {
            update(re[i].c, re[i].cnt);
            re[j].res += query(re[j].c);
            tmpE[k++] = re[i++];
        }
        else
        {
            tmpE[k++] = re[j++];
        }
    }   
    int bI = i;
    while(i <= mid) 
    {
        tmpE[k++] = re[i++];
    }
    while(j <= r)
    {
        re[j].res += query(re[j].c);
        tmpE[k++] = re[j++];
    }
    for(i = l; i <= r; i++)
    {
        if(i < bI)
            update(re[i].c, -re[i].cnt);
        re[i] = tmpE[i];
    }*/
    while(j <= r)
    {
        while(i <= mid && re[i].b <= re[j].b)
        {
            update(re[i].c, re[i].cnt);
            tmpE[k++] = re[i];
            i++;
        }
        re[j].res += query(re[j].c);
        tmpE[k++] = re[j++];
    }
    for(int iI = l; iI < i; iI++)
        update(re[iI].c, -re[iI].cnt);
    while(i <= mid)
        tmpE[k++] = re[i++];
    for(i = l; i <= r; i++)
        re[i] = tmpE[i];
    //sort(re + l, re + r + 1, cmpB);
}

int ans[N];

int main()
{
    R(n);R(k);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        R(e[i].a);R(e[i].b);R(e[i].c);
    }
    //去重
    sort(e + 1, e + n + 1, cmpA);
    int tmpCnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        tmpCnt++;
        if(e[i] != e[i + 1])
        {
            re[++idx] = e[i];
            re[idx].cnt = tmpCnt;
            re[idx].res = 0;
            tmpCnt = 0;
        }
    }
    solve(1, idx);
    for(int i = 1; i <= idx; i++)
        ans[re[i].cnt - 1 + re[i].res] += re[i].cnt;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}

统计时机

这个统计时机比普通的逆序对更特殊，不能一出现ai>aj就直接统计，因为这个时候所有能够和aj构成逆序对的数有可能还没有进来，如果每次一遇到ai>aj就统计，就会导致答案重复累加，最终偏大。

所以，我们要把朴素逆序对里的if改成while循环，把所有满足条件的i都遍历过之后，再统计j的贡献。