二次函数的图像规律

在初中学习二次函数时，教材上提到了二次函数图像的开口大小，\(y=ax^2+bx+c\) 中 \(|a|\) 越大，开口越小。

但这是在同一比例尺上的比较，那如果任意缩放两个不同二次函数图像的比例尺，结论仍是这样吗？

下面分别是 \(y=x^2\) 和 \(y=3 x^2+5x+10\) 在不同比例尺下的图像。

神奇的是，它们的开口大小相等。

这时不妨大胆地猜测：所有二次函数的图像都相似。

考虑证明。

因为二次函数都是由 \(y=ax^2\) 平移形成，因此这里只讨论形如 \(y=ax^2\) 的二次函数。

定义两个二次函数 \(y_1=a_1x^2\) 与 \(y_2=a_2x^2\)，\(y^2\) 缩放 \(\dfrac{a_1}{a_2}\) 后的图像为 \(y_2=a_1x^2\)，故两个函数相似，相似比为 \(\dfrac{a_1}{a_2}\)。