动态规划和层次遍历 —— [NOIP2002 普及组] 过河卒

题目如下：

[NOIP2002 普及组] 过河卒

题目描述

棋盘上 A A A 点有一个过河卒，需要走到目标 B B B 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 C C C 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示， A A A 点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)、 B B B 点 ( n , m ) (n, m) (n,m)，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 A A A 点能够到达 B B B 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 B B B 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

样例 #1

样例输入 #1

6 6 3 3

样例输出 #1

6

提示

对于 100 % 100 \% 100% 的数据， 1 ≤ n , m ≤ 20 1 \le n, m \le 20 1≤n,m≤20， 0 ≤ 0 \le 0≤ 马的坐标 ≤ 20 \le 20 ≤20。

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第四题

思路：根据 B B B点的位置确认棋盘table的大小，table[ i i i][ j j j]存储卒走到( i i i, j j j)的走法数量。显然table[ 0 0 0][ 0 0 0]=1。
对于马和马能走到的地方的坐标对应的table位置的值，置为-1.
如果要走到( i i i, j j j),则只能从( i − 1 i-1 i−1, j j j)或( i i i, j − 1 j-1 j−1)走过去，故写出状态转移方程：

t a b l e [ i ] [ j ] = t a b l e [ i − 1 ] [ j ] + t a b l e [ i ] [ j − 1 ] table[i][j] = table[i-1][j]+table[i][j-1] table[i][j]=table[i−1][j]+table[i][j−1]

如果等号右边table下标超出范围，则结果为0。
我们自然可以每次运算时遍历整个table二维数组，但更简单的方式是层次遍历，如图所示：

这是一种层次化遍历，节省了时间开销。
注意数据范围：最坏的情况二维数组存储的数字会超过int范围，故开int64防爆。
完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int m,n,p,q;//B坐标和马坐标

int dx[8] = {1,2,-1,-2,1,2,-1,-2};
int dy[8] = {2,1,-2,-1,-2,-1,2,1};

bool check(int x,int y){//判断是否在棋盘内
    return x>=0&&x<=m&&y>=0&&y<=n;
}

int main(){
    cin >> m >> n >> p >> q;
    vector<vector<ll>> table(m+1,vector<ll>(n+1,0LL));
    table[p][q] = -1LL;
    for(int i=0;i<8;i++){
        int x = p+dx[i];
        int y = q+dy[i];
        if(check(x,y)){
            table[x][y] = -1LL;
        }
    }
    int maxlen = m+n+1;
    table[0][0] = 1LL;
    for(int len=1;len<=maxlen;len++){
        for(int i=0;i<=len;i++){
            if(check(i,len-i) && table[i][len-i]!=-1LL){
                if(check(i-1,len-i) && table[i-1][len-i]!=-1LL){
                    table[i][len-i] += table[i-1][len-i];
                }
                if(check(i,len-i-1) && table[i][len-i-1]!=-1LL){
                    table[i][len-i] += table[i][len-i-1];
                }
            }
        }
    }
    cout << table[m][n] << endl;    
}

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