东京大学和京都大学2024年招生理科数学试题

**东京大学2024年招生数学试题**

**第1题.**
给定空间直角坐标系中一点$A(0,-1,1)$,设$xOy$平面上一点$P$满足以下条件(i), (ii), (iii).

(i) $P$与原点$O$不重合;

(ii) $\displaystyle\angle AOP\geqslant \frac{2\pi}{3}$;

(iii) $\displaystyle\angle OAP\leqslant \frac{\pi}{6}$.

请在$xOy$平面上画出点$P$所在的范围.

**第2题.**
考虑函数$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\frac{|t-x|}{1+t^2}\mathrm{d}t\ (0\leqslant x\leqslant 1)$.

(1)求满足$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$和$f'(\tan\alpha)=0$的实数$\alpha$的值;

(2)对于(1)中的$\alpha$,求$\tan \alpha$的值;

(3)求函数$f(x)$在区间$[ 0, 1 ]$上的最大值和最小值.可以利用$0.69<\ln 2<0.7$.

**第3题.**
在平面直角坐标系中,考虑点$P$按照下面的规则(i), (ii)每隔$1$秒进行移动.

(i) $P$的起点为$(2,1)$;

(ii)当某一时刻$P$在点$(a,b)$时,在$1$秒后$P$

以$\displaystyle\frac{1}{3}$的概率移动到与点$(a,b)$关于$x$轴对称的点;

以$\displaystyle\frac{1}{3}$的概率移动到与点$(a,b)$关于$y$轴对称的点;

以$\displaystyle\frac{1}{6}$的概率移动到与点$(a,b)$关于$y=x$对称的点;

以$\displaystyle\frac{1}{6}$的概率移动到与点$(a,b)$关于$y=-x$对称的点.

请回答以下问题,对于第(1)问,只需写出结论即可.

(1)写出$P$能取到的所有点的坐标;

(2)设$n$为正整数,证明第$n$秒后$P$在点$(2,1)$的概率和第$n$秒后$P$在点$(-2,-1)$的概率相等;

(3)设$n$为正整数,求第$n$秒后$P$移动到点$(2,1)$的概率.

**第4题.**
已知函数$\displaystyle f(x)=-\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+4\sqrt{2}$,对于满足$ 0 < t<4$的实数$t$,圆心在$x$轴上的圆$C_t$经过平面直角坐标系上的点$(t,f(t))$,并在这点处与抛物线$y=f(x)$有相同的切线.

(1)若圆$C_t$的圆心坐标为$(c(t),0)$,半径为$r(t)$.请用$t$的整式表示$c(t)$和$\{r(t)\}^2$.

(2)实数$a$满足$ 0<a<f(3)$,若圆$C_t$经过点$(3,a)$,求满足范围$ 0<t<4$的实数$t$的个数.

**第5题.**
在空间直角坐标系中取三点$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$, $D$为线段$AC$的中点,求三角形$ABD$的边界和内部绕$x$轴旋转一周得到的立体体积.

**第6题.**
在不小于$2$的整数中,除$1$和自身外没有其它正约数的数称为素数.请回答以下问题.

(1)设函数$f(x)=x^3+10x^2+20x$,求使得$f(n)$为素数的整数$n$;

(2)设$a,b$为给定的整数,函数$g(x)=x^3+ax^2+bx$,证明使得$g(n)$为素数的整数$n$不超过$3$个.

**京都大学2024年招生理科数学试题**

**第1题.**
用$n$种不同颜色给正方体各个面涂上颜色,每个面只涂一种颜色,且有公共边的任何两个面涂上不同颜色的概率为$p_n$.请回答下面问题.

(1)求$p_4$;

(2)求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$.

**第2题.**
对于满足$|x|\leqslant 2$的复数$x$和满足$|y-(8+6i)|=3$的复数$y$,考虑$\displaystyle z=\frac{x+y}{2}$.请画出这样的复数$z$在复平面中所在的区域,并求出其面积.

**第3题.**
空间直角坐标系中的四个点$O,A,B,C$不在同一平面上,记线段$OA$的中点为$P$,线段$AB$的中点为$Q$.对于实数$x,y$,直线$OC$上的点$X$和直线$BC$上的点$Y$按如下确定:
$$\overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OC},\quad \overrightarrow{BY}=y\overrightarrow{BC}.$$
求使得直线$QY$和直线$PX$异面的$x,y$的充要条件.

**第4题.**
对于给定的正整数$a_0$,由正整数构成的数列$a_0,a_1,a_2,\cdots$满足
$$\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases}
\displaystyle\frac{a_n}{2}, & \mbox{若$a_n$为偶数,} \\
\displaystyle\frac{3a_n+1}{2}, & \mbox{若$a_n$为奇数.}
\end{cases}$$
请回答以下问题.

(1)求使得$a_0,a_1,a_2,a_3$均为奇数的最小正整数$a_0$;

(2)求使得$a_0,a_1,\cdots,a_{10}$均为奇数的最小正整数$a_0$.

**第5题.**
设常数$a$满足$a\geqslant 1$.在平面直角坐标系中, $D_a$表示以下四个不等式所表示的区域:
$$x\geqslant 0,\quad \frac{e^x-e^{-x}}{2}\leqslant y,\quad y\leqslant \frac{e^x+e^{-x}}{2},\quad y\leqslant a.$$
请回答下列问题.

(1)求$D_a$的面积$S_a$;

(2)求$\displaystyle\lim_{a\to\infty}S_a$.

**第6题.**
对于正整数$k$,记$a_k=2^{\sqrt{k}}$.设$n$为正整数, 记$a_k$的整数部分为$n$位的$k$的个数为$N_n$.并记$a_k$的整数部分为$n$位,最高次数字为$1$的$k$的个数为$L_n$,求$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{L_n}{N_n}$.

**注:** 例如实数$2345.678$的整数部分$2345$是4位,最高次数字为$2$.