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2 .1 Preliminaries
尽管 NS 方程是确定的，但是在湍流中速度场 \(\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)\left[\mathrm{~ms}^{-1}\right]\) 是随机的，主要原因有以下两点：
- 在初始条件，边界条件和材料性质上，会不可避免地有一些小的扰动
- 湍流场对这种扰动非常敏感
一个简单的例子就是，一个乒乓球运动员每次发球的时候非常小的变化，就会让发球后的轨迹非常不一样。
对于层流来说，这种影响并不大，所以能够很精确地通过求解 NS 方程得到置信度很高的解。但是在湍流中，由于 \(\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)\left[\mathrm{~ms}^{-1}\right]\) 是随机的，其精确值很难预测。但是，可以建立一套理论来描述随机变量场的概率，或者其统计规律（如平均值，标准差）。
2.2 均值和矩
随机量 \(U\) 的平均值可定义为：
\[\langle U\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} V f(V) d V \]其中 \(f(V)\) 为概率密度函数 (probability density function)。
更一般的情况，如果 \(Q(U)\) 是 \(U\) 的任意一个函数，则 \(Q(U)\) 的均值为：
\[\langle Q(U)\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} Q(V) f(V) d V \]若 \(Q(U)\) 和 \(R(U)\) 均为随机变量 \(U\) 的函数，则满足以下方程：
\[\langle[a Q(U)+b R(U)]\rangle=a\langle Q(U)\rangle+b\langle R(U)\rangle \]即：\(\langle \rangle\) 很类似线性算子。\(U\) 的脉动 (fluctuation) 可记为 \(u\)，定义为：
\[u \equiv U-\langle U\rangle \]注：在湍流的知识体系中，一般用大写字母 \(U\) 表示随机量，小写字母 \(u\) 表示脉动量.
方差被定义为脉动量的均方 (mean square)：
\[\left\langle u^{2}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}(V-\langle U\rangle)^{2} f(V) d V \]方差 (variance) 的平方根 (square-root) 为标准差 (standard deviation)，可记为：\(\left\langle u^{2}\right\rangle^{1 / 2}\)。在一些教科书中，fluctuation 被表示为 \(u'\)，标准差表示为 \(\sigma_{u}\)
\(n\) 阶中心矩 (central moment)可定义为：
\[\mu_{n} \equiv\left\langle u^{n}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}(V-\langle U\rangle)^{n} f(V) d V \]