图的存储方式
邻接矩阵
优点
1.适合存稠密图
2.邻接矩阵判断两个顶点的连接关系，并取到权值时间复杂度为o（1）
缺点
1.如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间。
2.并且要求两个节点之间的路径不是很好求。
实现
namespace matrix
{
template<class V, class W,W MAX_W=INT_MAX, bool Direction=false>
class Graph
{
public:
//图的创建
Graph(const V* a, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(a[i]);
_indexMap[a[i]] = i;
}
_matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
{
_matrix[i].resize(n, MAX_W);
}
}
size_t GetVertexIndex(const V& v)
{
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
{
return it->second;
}
else
{
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t desti = GetVertexIndex(dst);
_matrix[srci][desti] = w;
if (Direction == false)
{
_matrix[desti][srci] = w;
}
}
void Print()
{
//顶点
int n = _vertexs.size();
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
cout << i << "->" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
//矩阵
cout << " ";
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
printf("%4d", i);
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
{
cout << i << " ";//纵坐标
for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
{
if (_matrix[i][j] == MAX_W)
{
//cout << "*"<<" ";
printf("%4c", '*');
}
else
{
//cout << _matrix[i][j] << " ";
printf("%4d", _matrix[i][j]);
}
}
cout << endl;
}
}
//void BFS(const V& src)
//{
// size_t srci = GetVertexIndex(src);
// int n = _matrix.size();
// queue<int> q;
// q.push(srci);
// vector<bool> vis(_vertexs.size(),false);
// vis[srci] = true;
// while (!q.empty())
// {
// int front = q.front();
// q.pop();
// cout << front << "->" << _vertexs[front] << " ";
// //邻接顶点入队列
// for (size_t i = 0; i < n; i++)
// {
// if (_matrix[front][i] != MAX_W&&!vis[i])
// {
// q.push(i);
// vis[i] = true;
// }
// }
// }
//}
void BFS2(const V& src)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
int n = _matrix.size();
queue<int> q;
q.push(srci);
vector<bool> vis(_vertexs.size(), false);
vis[srci] = true;
int count = 0;
while (!q.empty())
{
int m = q.size();
for (size_t i = 0; i <m; i++)
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << count << "层朋友:" << _vertexs[front] << " ";
//邻接顶点入队列
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
if (_matrix[front][i] != MAX_W && !vis[i])
{
q.push(i);
vis[i] = true;
}
}
}
count++;
cout << endl;
}
}
void _DFS(size_t srci, vector<bool>& vis)
{
cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl;
vis[srci] = true;
//找一个srci没有访问过的点，去深度遍历
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
if (_matrix[srci][i] != MAX_W && vis[i] == false)
{
_DFS(i, vis);
}
}
}
void DFS(const V& src)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
vector<bool> vis(_vertexs.size(), false);
_DFS(srci, vis);
//如果不连通，还有检查vis哪里有false，循环遍历一遍
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
if (!vis[i])
_DFS(i,vis);
}
}
private:
vector<V> _vertexs; //顶点
map<V, int> _indexMap; //顶点映射下标
vector<vector<W>> _matrix;//邻接矩阵
};
void Test_Graph1()
{
Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
g.AddEdge('0', '1', 1);
g.AddEdge('0', '3', 4);
g.AddEdge('1', '3', 2);
g.AddEdge('1', '2', 9);
g.AddEdge('2', '3', 8);
g.AddEdge('2', '1', 5);
g.AddEdge('2', '0', 3);
g.AddEdge('3', '2', 6);
//g.Print();
g.BFS2('0');
}
void Test_Graph2()
{
string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六","周七","勾八"};
Graph<string, int> g1(a, 6);
g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
g1.AddEdge("王五", "李四", 80);
g1.AddEdge("李四", "勾八", 50);
//g1.BFS2("张三");
g1.DFS("王五");
}
}
邻接表
用vector保存所有顶点，使用链表挂在每一个顶点下面，形成一个类似哈希桶的结构。
优点
1.适合存稀疏图
2.适合查找一个顶点连接出去的边
缺点
不适合确定两个顶点是否相连及权值
实现
namespace link_table
{
template<class W>
struct Edge
{
int _dsti;
//int _srci;
W _w;
Edge<W>* _next=nullptr;
Edge(const int dsti,const W& w)
:_dsti(dsti)
,_w(w)
,_next(nullptr)
{}
};
template<class V,class W,bool Direction=false>
class Graph
{
typedef Edge<W> Edge;
public:
Graph(const V* a, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(a[i]);
_indexMap[a[i]] = i;
}
_tables.resize(n,nullptr);
}
size_t GetVertexIndex(const V& v)
{
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
{
return it->second;
}
else
{
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
Edge* eg=new Edge(dsti,w) ;//构造一条边
eg->_next = _tables[srci];
_tables[srci] = eg;
if (Direction == false)
{
Edge* eg = new Edge(srci, w);
eg->_next = _tables[dsti];
_tables[dsti] = eg;
}
}
void Print()const
{
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
cout << i << "->" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++)
{
cout << _vertexs[i] << " " << i << "->";
Edge* cur = _tables[i];
while (cur)
{
cout << _vertexs[cur->_dsti] << "[" << cur->_dsti << "]"<<cur->_w<<"->";
cur = cur->_next;
}
cout << " nullptr" << endl;
}
}
private:
vector<V> _vertexs;//顶点集合
map<V, int> _indexMap;//点和下标映射关系
vector<Edge*> _tables;//边的集合
};
void test_link_tables()
{
string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六"};
Graph<string, int> g1(a, 4);
g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
g1.Print();
}
}
基本概念
完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n *(n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n *(n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图。
顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边
最小生成树
连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。
若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：
- 只能使用图中的边来构造最小生成树
- 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
- 选用的n-1条边不能构成回路
构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。
贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解。
Kruskal算法
简单来说，该算法是在全局的边中采用贪心算法，先构建一个无边的顶点集合，然后从权值最小的边开始，一条一条选，若两个顶点来自不同的连通分量，则加入到顶点集合中，（使用并查集来保证两个顶点来自不同的连通分量）。
代码实现
struct Edge
{
size_t _srci;
size_t _dsti;
W _w;
Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
:_srci(srci)
, _dsti(dsti)
, _w(w)
{}
bool operator>(Edge e2)const
{
return _w > e2._w;
}
};
W Kruskal(Self& minTree)
{
//初始化minTree
minTree._vertexs = _vertexs;
minTree._indexMap = _indexMap;
minTree._matrix.resize(_vertexs.size());
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
minTree._matrix[i].resize(_vertexs.size(), MAX_W);
}
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq;
int n = _matrix.size();
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
for (size_t j = 0; j < n; j++)
{
if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W)
{
minq.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
}
}
}
//选出n-1条边
UnionFindSet ufs(n);
W totalW = W();
int size = 0;
while (!minq.empty())
{
Edge min = minq.top();
minq.pop();
if (!ufs.IsInSet(min._srci, min._dsti))
{
cout << _vertexs[min._srci] << "-" << _vertexs[min._dsti] <<
":" << _matrix[min._srci][min._dsti] << endl;
minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);
ufs.Union(min._srci, min._dsti);
totalW += min._w;
size++;
}
}
if (size == n - 1)
{
return totalW;
}
else
{
return W();
}
}
这里首先创建一个Edge结构体用来存起始顶点和权值，采用优先级队列辅助每次取出最小的元素（用一个仿函数控制为权值比较的小堆），然后进行n-1次循环，每次把选取的Edge的顶点下标放进并查集中，最终若为最小生成树则返回权值和
Prim算法
从任意一个根节点开始，从这个起点出发选择一条轻量级的边，然后把这两个点归到集合A中，剩下的点在集合B中，再从集合B中选择一条小边再加入到集合A，循环往复，直到选出n-1条不成环的边。
代码实现
W Prim(Self& minTree, const V& src)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
//初始化minTree
minTree._vertexs = _vertexs;
minTree._indexMap = _indexMap;
int n = _vertexs.size();
minTree._matrix.resize(_vertexs.size());
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
minTree._matrix[i].resize(_vertexs.size(), MAX_W);
}
unordered_set<int> X;
unordered_set<int> Y;
X.insert(srci);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
if (i != srci)
{
Y.insert(i);
}
}
//从X到Y集合中连最小边
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq;
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
if (_matrix[srci][i] != MAX_W)
{
minq.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i]));
}
}
size_t size = 0;
W totalW = W();
while (!minq.empty())
{
Edge min = minq.top();
minq.pop();
if (X.count(min._dsti))
{
cout << "构成环" << _vertexs[min._srci] << ":" << _vertexs[min._dsti] << endl;
continue;
}
minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti,min._w);
X.insert(min._dsti);
Y.erase(min._dsti);
totalW += min._w;
size++;
if (size == n - 1)
break;
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
if (_matrix[min._dsti][i] != MAX_W&&X.count(i)==0)
{
minq.push(Edge(min._dsti, i, _matrix[min._dsti][i]));
}
}
}
if (size == n - 1)
return totalW;
else
return W();
}