1. 顺序公理

 　　到目前为止，射影几何都是在一般域\(F\)中讨论的，最多也只在二阶曲面里使用了“代数闭域”。但实数域作为真实世界的模型，也是欧氏几何的所在域，更有其独特的性质和意义。为了在后续讨论中能够自由地使用实数，我们接续上一篇的结合公理，增补实数域所必须的顺序公理。这组公理重在为直线上的点建立顺序关系，以方便规定点（数）的方向或大小，这样的域也叫有序域。需要提醒的是，如果一个问题中不出现数的比较（正负大小），也就不必引入顺序公理（比如复数域）。好了，你现在要保持一个认知，直线上的点是杂乱无序的，然后通过射影公理逐步将其梳理成近似环状的结构。

　　先定义直线上不同四点\(A,B,C,D\)的一个基本关系\((A,B)\div(C,D)\)，它描述为点偶\((A,B)\)被点偶\((C,D)\)分离，其逆关系（不被分离）记作\((A,B)\ddot{-}(C,D)\)。公理\(II_1\)强调了分离关系是以点偶为基本元素的对称关系，\((A,B)\div(C,D)\)等价于\((B,A)\div(C,D)\)和\((C,D)\div(A,B)\)。公理\(II_2\)限定了关系的唯一性，公理\(II_3\)说明可添加更多点以使得分离关系存在，公理\(II_4\)则开始利用分离关系划分点集。对于直线上的一对点偶\((A,B)\)和第三个点\(C\)，\(A,B\)之外的点\(D\)可以按照\((A,B),(C,D)\)是否分离被划分到“与\(C\)在一侧”和“不与\(C\)在一侧”。

  \(II.\) 射影顺序公理

      \(II_1\)  分离关系\((A,B)\div(C,D)\)与点偶中两点、以及点偶的顺序无关；

      \(II_2\)  任意不同四点，有且仅有一种分组法使得点偶分离；

      \(II_3\)  对于任意三个不同点\(A,B,C\)，必定有第四点满足\((A,B)\div(C,D)\)；

      \(II_4\)  如果点偶\((A,B)\)与\((C,E),(D,E)\)的关系相同，则\((A,B)\ddot{-}(C,D)\)；

      \(II_5\)  分离关系在中心投影下保持不变。

　　特别地，如果以\((0,\infty)\)为点偶，与\(1\)在同一侧的点\(k\)被定义为\(k>0\)、否则定义为\(k<0\)，还可以继续定义\(x-y>0\)为\(x>y\)、\(x-y<0\)为\(x<y\)。直线上的所有点都有且仅有\(<=>\)关系中的一种，也即建立了点（数）的可比性，请自行补全所有定义的良性和性质的证明细节。但需要注意，点集分割和可比性还远不能建立完整的顺序关系，也不能满足一般有序数域在加法、乘法上的性质。公理\(II_5\)将分离关系延伸到直线之外，一举解决了顺序性和运算律，使得直线上的点真正成为一个有序域。先来看加法，对于已知的\(a>b\)，根据比较的定义直接有\(a+c>b+c\)。

　　如图设\(a,b>0\)，现在来考察\(a+b,ab\)的符号，公理\(II_5\)保证了\(OM,ON\)上点的分离关系不变，这时我们的加法、乘法定义又显出优势了。左图中如果\(a+b<0\)，以\(P\)为中心的透视对应就会就会导出矛盾，从而证明\(a+b>0\)。所以如果\(a>b,b>c\)，则有\(a-c=(a-b)+(b-c)>0\)，比较关系\(<,>\)的传递性成立。右图中以\(T\)为射影中心就能直接证明\(ab>0\)，继而如果\(a>b,c>0\)则有\(ac>bc\)，直线上的点完全构成了一个有序域。

　　对于单纯用线性空间定义的射影几何\(\mathbf{P}(V)\)，可以用交比关系来定义分离关系（式（1）），请自行证明它满足5个顺序公理（公理成立其实源于交比更本质的定义）。构建完有序域，剩下的关于实数域的概念和命题就和以前课程一样了，这里不再赘述。其实后面大部分有关大小的讨论都适用于一般的有序域，而实数域只是一个常用特例而已。

\[(AB,CD)<0\;\Leftrightarrow\;(A,B)\div(C,D)\tag{1}\]

2. 一般仿射几何

2.1 仿射几何

　　射影几何中的点线面是完全自由的，它们地位均等、关系单纯，这全部得利于抽象出了无穷远平面并做了一般化。回头再讨论一般仿射几何时，我们不必从公理系统重新建立空间，而只需从一般射影空间中特化出一个无穷远超平面，并解决以此带来的元素、关系差异即可。所以接下来的旅程想必会比较轻松，素材和结论全部来自射影几何，然后逐步引入一些老朋友（旧概念），将它们安置在特定的位置。

　　基础空间当然还是域\(F\)上的\(n+1\)维线性空间\(V^{n+1}\)，并在上面完整定义\(n\)维射影几何\(\mathbf{P}(V)\)。把其中一个超平面\(\pi\)选定为无穷远超平面，然后将\(\pi\)从射影空间中移除（其子空间也从相应平面上移除），剩下的空间称为\(n\)维仿射空间\(\mathbf{A}^n\)（其它元素名称不变）。如果原本两个元素\(M,N\)的交集\(M\cap N\in\pi\)，那么现在交集为空，这时称\(M,N\)是平行的，引入平行关系（包括原本的射影结合关系）后的仿射空间也称为仿射几何\(\mathbf{A}(V)\)。无穷远超平面虽然被移除，但它的概念仍然可以保留在仿射几何中，射影几何中的所有结论都可以照搬过来，然后“区别对待”一下与\(\pi\)相关的元素即可。当然如果问题不涉及无穷远超平面，它还是一般的射影问题。

　　继续来理清与\(\pi\)相关的概念。正如我们最初引入无穷远点的初衷，每个点\(D_\infty\in\pi\)是一簇平行线的共同交点，也可称其为仿射空间的一个方向。另外当交比\((AB,CD)\)中有点（比如\(D\)）落在\(\pi\)上时，就把它简写成\((A,B,C)\)并定义为单比。对于特殊的单比关系\((A,B,C)=(AB,CD_\infty)=-1\)，我们称点\(C\)为线段\(AB\)的中点，这和欧氏空间的中点是兼容的。平行和中点是仿射几何最为常用的概念，牢记它们的射影本质才能轻松理解后面的新结论。其实射影几何中所有直线型结论，都可以有仿射几何重新阐述，只要补全了\(\pi\)也都很好理解。让我们继续前进，先补齐仿射坐标和仿射变换。

• [练习] 在仿射空间上证明：直线上四点的交比满足\((AB,CD)=\dfrac{(A,B,C)}{(A,B,D)}\)。

　　在建立了射影坐标系\(OA_0A_1\cdots A_n\)的射影空间上，我们可以选择\(OA_1\cdots A_n\)为无穷远超平面。这时仿射空间中任意点\(P=[x_0,x_1,\cdots,x_n]\)的齐次坐标都满足\(x_0\ne 0\)，从而它们都有唯一的非齐次坐标\((\dfrac{x_1}{x_0},\cdots,\dfrac{x_n}{x_0})\)，这就是仿射空间的仿射坐标（直观含义参考射影几何）。射影变换是射影几何的“本原变换”，无穷远超平面\(\pi\)被特殊化后，只能选择射影变换的子集而要使得\(\pi\)仍然变换为\(\pi\)。体现在变换矩阵\(A\)上就是第\(n+1\)行的前\(n\)个元素为零，用仿射坐标的矩阵乘法表示为式（2）。以上提到的平行、单比、中点等概念，显然都是仿射不变量，这就又回到我们最初对仿射几何的定义。

\[\begin{bmatrix}x'_1\\\vdots\\x'_n\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}&c_1\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}&c_n\\0&\cdots&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\\1\end{bmatrix}\tag{2}\]

2.2 仿射二阶曲面

　　射影几何二阶曲面为我们提供更多有趣且重要的概念，试想如果将它与特殊超平面\(\pi\)相碰撞，必将在平静的湖面激起一层层的涟漪。二阶曲面的齐次坐标满足方程是\(\vec{x}'A\vec{x}=0\)，并以\(f(\vec{x},\vec{y})=\vec{x}'A\vec{y}\)建立了点的共轭关系。超平面\(\pi\)被特殊化后，连带它的极点\(O\)也成为了特殊点，它被称为二阶曲面的中心。如果\(O\notin\pi\)曲面被称为有心二阶曲面，否则称为无心二阶曲面（也叫抛物面），仿射变换不改变曲面的有心性。以下来特别讨论2维仿射空间，超平面\(\pi=l_\infty\)是一条无穷远直线，其上两个共轭无穷点所指的方向也称共轭方向。根据配极原理，\(l_\infty\)上所有点的极线都经过中心\(O\)，这些极线被称为二阶曲线（以下总默认非退化）的直径，方向共轭的直径也叫共轭直径。

　　二阶曲线的直径\(d\)有一个重要性质，由于\(d\)的极点\(D\)也在\(l_\infty\)上，且已知\(D\)与\(d\)上任意点调和，所以直径\(d\)是其共轭方向\(D\)的平行线与曲线的交点的中点轨迹。为了更多地区别于射影几何，并逐渐向欧氏几何靠拢，以获得更多有趣的性质，以下我们将仿射空间限定在有序域上（比如实数域）。这时\(\pi\)与二阶曲线\(\Omega\)的交点数可能是0,1,2，它们分别对应熟知的椭圆、抛物线、双曲线，根据二阶曲线的射影定义，这三种曲线类型也是仿射不变量。椭圆和双曲线都有中心，而且它们总有成对的共轭直径，中心是直径与曲线交点的中点。而抛物线没有中心，它的所有直径相互平行，且每条直径都对应一个共轭方向（是该方向直线与曲线交点的中点轨迹）。

• [练习] 求证：过定点\(P\)的所有直线与二阶曲线交点的中点轨迹还是二阶曲线。

　　如果给定了二次曲线方程（非齐次改齐次），某方向\(\vec{v}=(0,\mu,\lambda)\)的共轭方向\(\vec{v}'=(0,\mu',\lambda')\)可以直接解方程\(f(\vec{v},\vec{v}')=0\)获得，而给定方向\(\vec{v}\)的直径则是\(f(\vec{v}',\vec{x})=0\)。椭圆、双曲线的中心可以由两条直径相交获得，特别地简单取\((0,1,0)\)和\((0,0,1)\)的极线，算得中心坐标为\((A_{00},A_{01},A_{02})\)（第一行的余子式）。抛物线的中心则是直接计算曲线与直线\(x_0=0\)的交点，然后也能求得过定点的直径。最后关于切线计算，只要先求出定点的极线、然后算出切点，特殊切线包括定方向的和过中心的切线。椭圆有两条定方向切线，没有过中心切线；抛物线只有一条定方向切线；双曲线部分方向有两条切线，有两条过中心切线。

　　双曲线过中心的切线比较特殊，因为切线的切点是无穷远点，这两条切线也叫双曲线的渐近线。由于切点就是切线的极点，两条渐近线都是自共轭直径，而其它共轭直径和共轭极点都成对出现。所以\(l_\infty\)上的点依共轭关系（配极变换）形成对合变换，对应到极线则是，两条渐近线与其它共轭直径是两对调和线束。有这样一种特殊的共轭直径，设\(m\)为双曲线上点\(M\)的切线，则由共轭关系易知\(OM\)与\(OM_\infty\)共轭，所以它们与渐近线调和，点\(M\)是\(m\)与双曲线交点\(A,B\)的中点。再设直线\(m\)分别交双曲线、渐近线于\(A,B,C,D\)，取\(CD\)的中点\(M\)，易知\(OM\)与\(OM_\infty\)共轭，同样可知\(M\)也是\(AB\)中点，从而\(AC=BD\)。作为练习，请利用4线的Brianchon定理证明：双曲线的切线与渐近线围成的三角形面积恒定。

3. 仿射空间的度量

3.1 圆点和夹角

　　现在要从仿射几何再往欧氏几何走一步，引入空间的度量概念。这个度量的启发来自于二次曲面函数\(f(\vec{x},\vec{y})\)，但由于齐次坐标不方便给出唯一的度量值，所以必须使用非齐次坐标\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)。欧氏空间定义在实数域上，并利用正定二次型定义了内积，而后衍生出距离、角度的概念，这个二次型是退化的二次曲线，在标准直角坐标下更是简化为\(\sum x_i^2\)。线性代数中证明了，保持内积不变的线性变换是正交变换，也就是说式（2）前\(n\)行\(n\)列是正交矩阵。我们也称这样仿射变换为正交变换，要注意它不同于线性代数的正交变换，在齐次坐标下还有一列“平移”变换。实数域的仿射空间在正交变换下的几何就叫欧氏几何，显然距离、角度是欧氏几何的变换不变量。

　　为了从射影几何的角度深入分析欧氏几何，我们现在仅从正交变换开始研究空间的不变性质，你不妨叫它正交几何（仍然是欧氏几何的父几何，课本没有给出名称）。我们把空间的域定义扩展到复数域，这样才能在二次计算中畅通无阻，并同时延续欧氏空间中距离和角度的计算式（视为新的定义）。另外还把空间限定在2维平面上，更高维更一般的讨论则要到非欧几何中展开。2维仿射空间的正交变换有格式（3），非常重要的是，对所有正交变换都有两个特征子空间\(I=[1,i,0]\)和\(J=[1,-i,0]\)，它们是2维正交几何的不变量（不动点）。多出的两个特殊无穷远点，自然会唤起更多的概念，比如同时经过\(I,J\)的二阶曲线（椭圆）被叫做圆，可知其方程（4）兼容欧氏几何的圆形，故\(I,J\)也称为圆点。

\[\begin{bmatrix}x'\\y'\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin\theta&-\cos\theta&c_1\\\cos\theta&\sin\theta&c_2\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\tag{3}\]

\[a_{11}(x_1^2+x_2^2)+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0\tag{4}\]

• [练习] 求证：欧氏平面上的三实数点确定一个圆。

　　经过圆点的直线方程是\(x_1\pm ix_2+cx_3=0\)，不难算得其上任意两点的距离为0，反之也有两点距离总为0直线一定经过两个圆点。经过同一圆点的直线互相平行，然而它们的斜率\(\pm i\)之积为\(-1\)，欧氏几何中又称它们互相垂直，所以这些直线也叫迷向直线。不光如此，迷向直线与其它直线的夹角也不能被定义（需要复变函数知识），因为利用式（5）可分别算得分别过\(I,J\)的直线夹角\(\tan\theta=0/0\)，以及其它直线与迷向直线夹角\(\tan\theta=\pm i\)。设两条斜率\(\lambda_1,\lambda_2\)的直线交角为\(\theta\)，它们和迷向直线的交比\(\omega\)满足式（6）。这个结论叫拉盖尔（Laguerre）定理，它说明可以用交比来定义直线夹角，且这样的定义与欧氏空间兼容，夹角是正交不变量。

\[\dfrac{\lambda_2-\lambda_1}{1+\lambda_1\lambda_2}=\tan\theta=\dfrac{1}{i}\left(\dfrac{e^{2i\theta}-1}{e^{2i\theta}+1}\right)\tag{5}\]

\[\omega=\dfrac{(\lambda_1+i)(\lambda_2-i)}{(\lambda_2+i)(\lambda_1-i)}=\dfrac{1+i \tan\theta}{1-i \tan\theta}=e^{2i\theta}\tag{6}\]

　　特别地，两条互相垂直的普通直线，可算得\(\omega=-1\)，即它们与两条迷向直线调和共轭，或者说垂直直线无穷远点与圆点调和共轭，可证反之也成立。将圆点、夹角、垂直这些新的不变量放到旧的定理中，就会产生许多新的结论，回顾一下前面的知识，你也能自己得出一些有用的结论。比如垂直于同一直线的直线簇互相平行；四条迷向直线围成的四边形对角线垂直平分；圆周角相等（二次曲线的交比定义）。由于圆的渐近线是迷向直线，所以圆的共轭直径总是互相垂直。不难证明实系数曲线一定经过共轭复点，所以非圆的实系数二次曲线一定不经过圆点，以下来分析它们与圆点的关系。

3.2 主轴和焦点

　　先来看抛物线，它与无穷远线\(l_\infty\)相切于点\(P\)，设\(Q\)是\(I,J,P\)的第四调和点，易知分别过\(P,Q\)的任意直线互相垂直。特别地，作\(Q\)关于抛物线的切线\(OQ\)，则\(OP\)垂直平分抛物线上所有指向\(Q\)的弦\(M_1M_2\)。这样的直径\(OP\)称为抛物线的主轴，而点\(O\)称为顶点，显然抛物线有唯一的主轴和顶点。过\(I,J\)作抛物线的另外两条切线\(AI,BJ\)并相交于点\(F\)，设\(C\)是三条切线的Brianchon点，由完全四点形\(ABIJ\)的调和性可知\(AB\)经过点\(Q\)。再由\((AB,DQ)=-1\)可知\(DP\)是点\(Q\)的极线，也就是抛物线的主轴，这时主轴上的点\(F\)称为抛物线的焦点，焦点的极线\(AB\)被称为其准线，它被主轴垂直平分。

• [练习] 求证：抛物线的外切三角形的外接圆经过抛物线的焦点。

　　再来看椭圆和双曲线（复数域上其实不作区分），过\(I,J\)作曲线的四条切线并相交于点\(F,F',G,G'\)，记\(FF',GG'\)分别交\(l_\infty\)于点\(Q,P\)。完全四点形\(FF'GG'\)的对边三点形\(OIJ\)是曲线的的自极三角形，所以\(OP,OQ\)是曲线的一组垂直共轭直径，它们也称为曲线的主轴，主轴与曲线的交点称为顶点。另外设四个切点为\(A,B,C,D\)，由于\(AB\)是点\(F\)的极线、而\(F,P\)是共轭点，从而\(AB\)经过点\(P\)，同理\(CD,AD,BC\)分别经过点\(P,Q,Q\)。这时主轴上的点\(F,F',G,G'\)分别称为曲线的焦点，其四条极线分别称为曲线的准线，它们被主轴垂直平分。不难发现（请自行证明），四条迷向切线一定是两两共轭的虚直线，而共轭虚直线的交点又为实数点（也是虚直线上唯一实点），从而\(FF',GG'\)中有且只有一对是实焦点。

• [练习] 求证：二次曲线的动切线与两条固定切线的交点与焦点的张角恒定（二级曲线射影定义）。

　　我们知道，有心二阶曲线在无穷远直线\(l_\infty\)上的配极变换，是以两交点\(H_1,H_2\)（渐近线方向，不是\(I,J\)）为不动点的对合变换。刚才证明了存在一组垂直的共轭直径，也即存在对合点对使得\((PQ,IJ)=-1\)，这说明\(P,Q\)也是以\(I,J\)为不动点的对合变换的对合点。如果还有第二组对合点对满足\((P'Q',IJ)=-1\)，那么两组对合点对\(PQ,P'Q'\)存在于两个不同的对合变换，这是不可能的。总结以上论述，圆的每一组共轭直径都是主轴，每个点都是顶点，圆心是唯一焦点，无穷远直线是唯一准线。无心二阶曲线（抛物线）只有一条主轴、一个顶点、一个焦点和一条准线。有心二阶曲线有两条共轭垂直的主轴，4个顶点、1对实焦点（准线）、1对虚焦点（准线）。

3.3 二次曲线束

　　假设\(F=0,G=0\)是复平面上两条不同的二次曲线方程（可以是退化的2条相异复直线或重合复直线），则它们可以联立为四次方程，即两条二次曲线在复仿射空间上有4个交点。当然交点也可能重合，两条曲线在重合交点处是相切的（有共同的切线切点）。两个方程的线性组合\(\lambda F+\mu G=0\)表示一个二次曲线束，其中包含了所有经过4个交点（可以重合）的二次曲线。不难证明二次曲线束铺满了整个复平面，即经过4个交点外的任意一点都能确定一其中一条曲线；另外也能算得，任一直线与曲线束中的两条相切。不难证明曲线束里有3条退化的二次曲线，它们分别是4个交点组成的3组对角线，当交点重合时对角线变为共同切线（自行画出所有可能的图）。当给定二次曲线的4个点（或重合点与切线），可以先用两组对角线方程表达二次曲线束，再结合其它条件确定曲线方程。

• [练习] 若已知二次曲线上的三点\(A,B,C\)、以及过\(A,B\)的切线，求曲线方程。

　　二次曲线束还有一个有趣的性质。考察二次曲线束与一条定直线的交点，同一曲线与直线相交于两点，以此形成直线上的对称变换。利用纯代数分析法可证，这个变换是直线上的对合变换，它被称为笛沙格对合定理。特别地，与定直线相切的曲线切点就是对合变换的不动点。以上描述对二阶曲线和二级曲线都成立，要注意针对级次曲线措辞上的差别。二级曲线束有共同的4条包络线，且它们涵盖了平面上所有的直线，每个点是2条包络线的切点（二级曲线包络线的切点围成二阶曲线，故也说成每个点经过2条二阶曲线）。包络线也可以是重合的，这时包络线上的定切点就是曲线束的共同切点。二级曲线束也有三条退化的曲线，它们分别是4条共同包络线的3对交点（四点形的三对顶点）。

　　笛沙格对合定理在二级曲线中的描述是这样的：过任一点\(O\)的线束，成对存在于曲线束的每条二级曲线中，并以此形成对合变换，以\(O\)为切点的两条包络线是变换的不动点。我们把以上结论应用到刚才的正交几何中，从圆点\(I,J\)引出4条不同的非无穷远直线，以此定义一组二级曲线束、以及切点围成的二阶曲线束。包括圆点在内的3对交点是二级曲线束的3个退化曲线，其中不是圆点的2对交点则是二阶曲线束的共同焦点（以及主轴），因此也被称为共焦二阶曲线束。过平面上的任一点\(P\)，都有两条共焦二阶曲线，且两条切线\(m,n\)是对合变换的不动点。这对于退化二级曲线\(I,J\)意味着\((mn,PI,PJ)=-1\)，所以两条切线垂直。而对于退化二级曲线\(F,F'\)意味着\((mn,PF,PF')=-1\)，所以两条切线还是焦半径\(PF,PF'\)的角平分线，这就是有心二阶曲线的光学性质。

　　如果把无穷远直线\(l_\infty\)选做重合的包络线（并选定切点\(C\)），另加两条直线也能定义一组二级曲线束，它们的切点则围成了共焦抛物线束（也共主轴），其它性质则类似上面的讨论。

【全篇完】