§3. 可积条件

掌握可积的必要条件和充要条件，以及可积函数类（连续函数、有有限个间断点的有界函数、单调函数、黎曼函数）。

重点习题：例3.

让·加斯东·达布（Jean Gaston Darboux）

达布是法国数学家。1842年8月14日生于尼姆；1917年2月23日卒于巴黎。

达布幼年丧父，家境清贫，但他勤奋好学，上完中学后，1861年以名列榜首的骄人成绩考入巴黎高等师范学校学习，大学四年级时就脱颖而出，发表了一篇关于正交曲面的论文，1864年大学毕业后留校任教并攻读博士学位，1866年7月获博士学位，以后相继在两所中学及法兰西学院、巴黎大学、索邦大学、巴黎师范学校任教，1880年起成为巴黎师范学校的教授。1889-1903年任巴黎大学理学院院长，后任名誉院长。1884年当选为法国科学院院士。1895年被选为彼得堡科学院通讯院士。同时还被聘为英国皇家学会会员和其他国家科学会的会员，并荣获国内外许多大学的名誉学位。

达布在数学和物理的许多方面都很有建树，特别是在数学分析、微分几何、微分方程等领域有更大的贡献。

数学方面

在数学分析方面，他对函数连续性作了深入的研究。给出了一个“病态函数”，当从x=a变到x=b时，这个函数取遍两个给定值之间的一切中间值，但它却不是连续的函数。

达布对黎曼积分理论作了推广。他严格地证明了，不连续函数也可以求定积分，而且间断点可以有无穷多个，只要它们包含在长度可以任意小的有限个区间之内就行。即证明了一个有界函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是f(x)的间断点组成一个测度为零的集合。他在1875年还给出了推广意义上的微积分基本定理的证明。现在定积分理论里的所谓上积分、下积分、达布大和、达布小和以及达布定理等都是以他的姓氏命名的。

在解析函数论方面，他研究了球函数、正交函数，包括雅可比多项式的分解等问题，并取得了重要成果。

在微分几何方面，他关于曲面理论和曲线坐标的研究获得了许多重要结果，他研究了测地线及曲面的变形，并创立了流动坐标系方法。他的《曲面的一般理论和微积分的几何应用教程》(4卷，1887-1896年)是一部名著，在这部书中，不仅系统地介绍了18-19世纪曲线和曲面几何学方面所取得的成就，而且还包含了他自己研究的许多成果，此外，在这部著作中还可以看到射影几何的思想。

在微分方程方面，他研究了一阶常微分方程等问题。关于常微分方程的奇异解理论就是达布于1872年完成的。一般偏微分方程通解的定义，也是达布给出的。他还研究了微分方程的可积性及积分法问题，总结了拉普拉斯的级联方法，并将其应用于所有二阶偏微分方程中。他对用于非线性方程的蒙日方法作了较精确的阐述，被称为达布方程。

物理方面

在物理学方面，他研究过运动学、平衡、点系微振等问题，并取得了成果。达布成功地解决了运动学、平衡、点系微振等各种问题。许多物理上的概念如矢量、张量、线、面、束等，都是与他的名字分不开的。

在数学中以他的姓氏命名的有：达布和、达布曲线、达布曲面、达布向量、达布张量、达布束、达布标架、达布不变量、达布常微分方程、达布问题、达布性质、达布方向、达布方程，等等。而以他的姓氏命名的定理有多个。