可能会用到的记号： \([P]=\begin{cases} 1 &(P 成立) \\ 0 & (P 不成立) \end{cases}\)
期望概率 \(\texttt{dp}\)
\(\texttt{dp}\) 的变形当中最为简单易懂但是又思路又最为清奇。
与之相关的难题数不胜数。考场上可以想出正解的都是超级神仙。
粗浅的提一句，离散变量，也就是保证样本可数的情况下的变量。而后文的随机变量，大都是离散型随机变量。
相关定义：
我们可以用数学的方法理解他们。
可数：像自然数一样可以一个一个计数的。
因为我并没有太好的概率相关的基础学习，所以我只能这样：
概率，期望与频数直方图
对于一个变量，它在有限个样本当中出现。而现在已知这个样本。
作频数直方图。而概率 \(P\) 也就是 \(\dfrac{S}{C}\) ( 其中 \(S\) 表示样本容量，\(C\) 表示该种取值出现的次数 )。不难发现，概率 \(P\) 也即这个随机变量的取值出现频率。
记这个随机变量为 \(X\)，它的取值分别为 \(X_1,X_2,\cdots,X_i,\cdots,X_n.\) 而我们记 \(E(X)\) 为 \(X\) 的数学期望。
期望，简单地说是随机变量 \(X\) 的所有取值的平均值。求平均数可以用整个频数直方图求和然后除以他的样本容量得到。也就是：
\[E(X)=\dfrac{\sum_{i=1}^n X_iC_i}{\sum C_i} \]稍微用上文的公式化简，就可以得到书上最后的公式：
\[E(X)=\sum _{i=1} ^n X_i P(X=X_i) \]如果这个随机变量的取值非有限但是可数，那么
\[E(X)=\sum_{i=1}^{\infty} X_iP(X=X_i) \]这里， \(P(X=X_i)\) 是 \(X\) 取到 \(X_i\) 的概率。
我怎么好像说了一大堆废话啊。。
可以想象，\(E(X)\) 是 \(X\) 的随机取值组成的集合的平均值。
但是这里通常不会讨论随机变量取值可数的情况。
重要性质
有常数 \(c\)，随机变量 \(X,Y\)
-
\(E(c)=c.\)
-
数学期望的线性性质： \(E(cX)=cE(X).\)
-
数学期望的线性性质： \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
-
数学期望对于乘法的准分配律：当 \(X,Y\) 相互独立， \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
什么是相互独立呢？
设 \(X,Y\) 的取值集合分别为 \(\{X_i\}\) 以及 \(\{Y_i\}\) ，而对于任意 \(i,j\)，有 \(P(X=X_i,,Y=Y_j)=P(X=X_i)P(Y=Y_j)\)
- 全期望公式：
其中，\(I(Y)\) 是 \(Y\) 的取值集合，而 \(E(X|Y=y)\) 表示 \(Y=y\) 的情况下 \(X\) 的期望取值。
数学期望是一个所有实验结果的平均值
逆天的是，这里面并没有基本性质，每一个都可以得到证明。
再给出一个基于本质可以被理解的性质：
\[P(A)=\sum_{i} P(A|B_i)P(B_i) \]这个性质被称作 \(*\) 全概率公式 \(*\)
其中 \(A|Bi\) 是 \(B_i\) 事件成立时 \(A\) 事件成立的概率。
有一个易错点：\(E(X^2)=E^2(X)\) 不一定成立。
期望概率 \(dp\) 例题。
【例题 1】期望分数
设在 \(i\) 的得分是 \(x\) ，有 \(x_i\) 个连续的 \(1.\)
\[E(i)=p_i[(x_i+1)-x_i^3]+(1-p_i)E(0)+E(i-1) \]多项式乘法化简，最后得到
\[E(i-1)+p_i[3x_i^2+3x_i+1] \]问题转移到 \(E^2(x_i)\) 以及 \(E(x_i)\)
\[E^2(x_i)=p_iE(x_{i-1}+1)^2+(1-p_i)E(0)=p_i[E^2(x_{i-1})+2E(x_{i-1})+1] \]\[E(x_i)=p_i[E(x_i-1)+1] \]code
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
const int N=1e5+10;
db E[N],Ex[N],Ex2[N],p[N];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
for(int i=1;i<=n;++i){
Ex[i]=p[i]*(Ex[i-1]+1);
Ex2[i]=p[i]*(Ex2[i-1]+2*Ex[i-1]+1);
E[i]=E[i-1]+p[i]*(3*Ex2[i-1]+3*Ex[i-1]+1);
}
printf("%.1lf\n",E[n]);
}