本期主要讲解深度优先搜索 \(\text{DFS}\)。
知识点
种类：
-
全排列。可以想象为填格子。
-
去重全排列，即组合。
时间复杂度均为 \(O(n!)\)。
\(\text{DFS}\) 题的特征：
-
求方案总数 / 最值。
-
数据范围极小（一般 \(n \le 20\)）。
-
无法直接暴力枚举（因为循环嵌套层数不确定）。
例题
T1
将每个人看作一个格子，枚举 \(1 \sim n\) 本书放入这些格子中，并且要满足当前处理的格子喜欢。
因此维护一个变量 \(x\)，记录当前已经处理到了哪个格子。若 \(x+1=n\)，则累加答案并 return 进行回溯，否则枚举每一本书尝试填入格子，若合法则进入下一层递归搜索。
注意需要使用 \(vis\) 数组记录每个数是否被用过，避免重复枚举。
跟普通的全排列搜索是没有什么区别的，只是多了一个限制条件。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;
int a[31],b[31];
bool vis[31];
void dfs(int x){
if(x==n+1){
ans++; return;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!vis[i]&&(a[x]==i||b[x]==i)){
vis[i]=1;
dfs(x+1);
vis[i]=0;
}
}
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i];
dfs(1);
cout<<ans;
return 0;
}
T2
此题属于第二种去重全排列搜索，它与第一种的区别在于，题目要求每组数都有序且不考虑顺序。
既然如此，我们在枚举填哪个数时，就不能用 \(1 \sim n\)，而应该用 \(a_{x-1}+1 \sim n\)，即从上一个格子填的数 \(+ \ 1\) 开始循环。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,r,ans[31];
void dfs(int x){
if(x==r+1){
for(int i=1;i<=r;i++) cout<<setw(3)<<ans[i];
cout<<'\n';
return;
}
for(int i=ans[x-1]+1;i<=n;i++) ans[x]=i,dfs(x+1);
}
int main(){
cin>>n>>r;
dfs(1);
return 0;
}
T3
同样是第二种。
细节：
-
循环需要从 \(\max{(1,a_{i-1})}\) 开始，到 \(n-1\) 结束，因为不能从 \(0\) 开始且允许重复使用数字且不能到 \(n\) 结束。
-
注意此题的结束条件是所有数之和 \(sum=n\)，但也要处理 \(sum>n\) 的情况。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans[31];
void dfs(int x,int sum){
if(sum==n){
for(int i=1;i<x-1;i++) cout<<ans[i]<<'+';
cout<<ans[x-1]<<'\n';
return;
}
if(sum>n) return;
for(int i=ans[x-1];i<n;i++){
ans[x]=i;
dfs(x+1,sum+i);
}
}
int main(){
cin>>n; ans[0]=1;
dfs(1,0);
return 0;
}
习题
T4
这题的 \(\text{DFS}\) 函数不仅要有 \(x\)、\(sum\)，还要有 \(st\) 这个参数，表示循环的开始处，初始为 \(1\)。
每次搜索中循环 \(st \sim n\)，对于每一个枚举到的 \(i\)，继续进行 \(\text{DFS}\)，并令 \(st \gets i+1\)。
其他的就和 T2 差不多了。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,k,ans;
int a[31];
bool check(int x){
if(x<2) return 0;
for(int i=2;i*i<=x;i++)
if(x%i==0) return 0;
return 1;
}
void dfs(int now,int sum,int st){
if(now==k){
if(check(sum)) ans++;
return;
}
for(int i=st;i<=n;i++)
dfs(now+1,sum+a[i],i+1);
}
signed main(){
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
dfs(0,0,1);
cout<<ans;
return 0;
}
T5
枚举 \(n\) 的全排列，依次验证，若合法则输出。注意 \(1,n\) 也是相邻的。
用 next_permutation 更简便。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;
int a[31];
bool P(int x){
if(x<2) return 0;
for(int i=2;i*i<=x;i++)
if(!(x%i)) return 0;
return 1;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
do{
bool f=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i<n)
if(!P(a[i]+a[i+1])) f=0;
if(i==n)
if(!P(a[n]+a[1])) f=0;
}
if(f){
cout<<++ans<<':';
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';
cout<<'\n';
}
}while(next_permutation(a+1,a+n+1));
cout<<"total:"<<ans;
return 0;
}