逻辑代数基础

数字电路的定义：使用数字信号，并能对数字量进行 算术运算和逻辑运算的电路。

数字信号：指用二进制表示的信号，即信息用 0,1 来表示。

逻辑值的概念，在数字系统中通常用逻辑真和逻辑假状态来区分事物的两种对立的状态。逻辑真状态用1表示;逻辑假状态用0来表示。 0,1只有逻辑上的含义，已不表示数量上的大小。

高、低电平的概念，以两个不同确定范围的电位与逻辑真、假两个 逻辑状态对应。高电平用H表示，低电平用L表示。

基本逻辑运算

1. 逻辑与（乘）运算\(F=AB\)
2. 逻辑或（加）运算\(F=A+B\)
3. 逻辑非运算\(F=\overline{A}\)

复合逻辑运算

1. 与非，\(F=\overline{AB}\)
2. 或非，\(F=\overline{A+B}\)
3. 与或非，\(F=\overline{AB+CD}\)

异或，\(F=A\oplus B=A\overline{B}+\overline{A}B\)

同或，\(F=A\odot B = \overline{A}\overline{B}+AB\)

异或和同或互为非运算，\(A\odot B = \overline{A\oplus B}\)

逻辑函数的标准形式

五种常用表达式

1. \(F(A,B,C)=AB+\overline{A}C\) ，与—或式
2. \(F(A,B,C)=(A+C)(\overline{A}+B)\) ，或—与式
3. \(F(A,B,C)=\overline{\overline{A+C}+\overline{\overline{A}+B}}\) ，或非—或非式
4. \(F(A,B,C)=\overline{\overline{AB}+\overline{\overline{A}C}}\) ，与非—与非式
5. \(F(A,B,C)=\overline{\overline{A}\cdot\overline{C}+A\cdot\overline{B}}\) ，与—或—非式

标准形式

最小项：乘积项，必须包含所有的变量，每个变量只能以原变量或反变量的反出现一次

• 最小的编号就是，各项输入变量取值看成二进制数，对应的十进制数
• 任意一组变量的取值，只有一个最小项的值为 1，其他最小项的值都为0

最大项：和项，必须包含所有的变量，每个变量只能以原变量或反变量的反出现一次

已知函数的真值表，求该函数的标准积之和的表达式

• 从真值表中找出\(F\)为 1的对应最小项
• 然后将这些逻辑相加
• 函数的最小项表达式是唯一的

逻辑函数的化简

函数化简的目的

• 逻辑电路所用的门数量少
• 每个门的输入端个数少
• 电路构成的级数少
• 逻辑电路保证可靠性地工作

与或表达式最简标准

• 与项最少，即表达式中的\(+\)最少
• 与项之中的变量最少，即与项之中\(\cdot\)最少

代数法化简逻辑函数

1. 并项：\(A+\overline{A}=1\)
2. 吸收：\(A+AB=A\)
3. 消元：\(A+\overline{A}B=A+B\)
4. 配项：乘以\(A+\overline{A}\)或者加上\(A\overline{A}\)

卡诺图（K图）

卡诺图的特点

1. n 个逻辑变量的函数，卡诺图有\(2^n\)个小方格，对应\(2^n\)个最小项
2. 行列两组变量的取值按照循环码的规律排列，相邻最小项为逻辑相邻项（相邻项只有一位不同 ）

用卡诺图表示逻辑函数

1. 已知函数的最小项表达式，存在的最小项对应位置填 1，其余格均为 0
2. 已知函数的真值表，将真值表中是函数值为 1 点最小项对应的方格填 1，其余格填 0
3. 函数为一个复杂的运算式子，先将其变成与或式，再填写

卡诺图化简函数的依据：

• 几何相邻的\(2^i\)个小格可以消去\(i\)个变量，两个相邻的格消去一个变量，消去一个变化的变量。
• 圈要尽可能的大，每个圈包含\(2^i\)个相邻项
• 圈的个数要少，是化简后的逻辑函数与项最少
• 所有含有 1 点格都用呗圈入，防止遗漏积项
• 圈可以重复包围，当必须要有新的最小项
• 逻辑函数的化简结构不唯一
• 无关项可以看做0也可以看做 1