ABC338G 题解

计数题，没有太多思维难度，就是麻烦。

显然 + 和 * 是比较难搞的，应考虑子问题。

复杂度要求线性，考虑每个位置的贡献。

Case 1：只有数字

Ex: 1234

考虑 2 的贡献，枚举一下看看。

• \(12=1\times 10+2\times1\)
• \(123=1\times 100+2\times10+3\times1\)
• \(1234=\dots\)
• \(2=2\times1\)
• \(23=2\times 10+3\times 1\)
• \(234=\dots\)

2 贡献了 \(2\times 111=222\) 次。

引理：总贡献次数 \(=\) 左边 \(\times\) 右边

例如：12 中 2 贡献了 \(2\) 次，234 中 2 贡献了 \(111\) 次，1234 中正好是 \(2\times111\) 次。

设当前是第 \(p\) 位，长度为 \(n\)，则总贡献次数为 \(p\times\sum\limits_{i=0}^{n-p} 10^i\)。

证明显然，请读者自行完成。

Case 2：只有数字 & +

Ex: 99+1234+999

仍然考虑 2 的贡献次数，请读者仿照 Case 1 自行枚举。

发现第一个加号前和第二个加号后的内容是不影响答案的，故可以只考虑两加号之间的部分，最后加上前后长度即可。

设当前位置、后面第一个加号位置为 \(s,t\)，当前忽略加号的位置为 \(pd\)，总数字量为 \(n\)，则总贡献次数为
\(pd\times\left(\sum\limits_{i=0}^{t-s-1} 10^i+ (n-pd)\times10^{t-s-1}\right)\)。

好长的式子。

Case 3：数字 & + & *（原问题）

先解决算重复的问题。

比如 2*3 中，\(2\times3\) 只应该被计算一次，但如果计算贡献，会在 2 和 3 上分别统计一次，就算重了。

key：只在最后一个数上统计乘法答案（结合律）。

（当然你也可以在第一个数上计算，只不过从左到右扫，在最后统计更方便）

2*3 中，2 贡献 \(1\) 次，3 贡献 \(2+1=3\) 次。

Ex: 99+345*456*567*12+999

通过 Case 2 我们发现，可以把整个串用 + 号分割，每一小段单独考虑。

故统计 2 的答案，只需要看 345*456*567*12 这一部分，请读者自行枚举。

发现乘法对 2 的贡献就是345*456*567 的后缀贡献和，这是很容易 dp 计算的。具体说，就是每个数计算和，乘上后面的数，滚雪球。

\(\big[(3\times 100+4\times20+5\times3)\times 456+(4\times100+5\times20+6\times3)\big]\times 567 + \dots\)

加法的贡献和 Case 2 相同，不多赘述。

注意：乘法中非最后一个数的，向右只考虑乘号前、加号后的部分（反之亦然）！

例如 3 只考虑 345 和 999，乘法部分不算。

小结

• 分成 \(3\) 个子问题考虑。
• 从简单开始枚举。
• 考虑每个位置的贡献。
• 分治（左右 & 符号分段）。
• 相同的部分合并计算。
• 乘法只算一次。

代码不难写，注意下标 & 取模的细节。