考纲

2024助教占测版

Chapter 1

自然语言命题

• 什么是命题？

  • 具有 确定的真或假含义 的 陈述句 是命题，并且是 简单命题、原子命题

  • 由 逻辑联结词 联结命题形成的陈述语句是命题，并且是 复合命题

  • 由 量词 约束命题形成的陈述语句是命题，并且是 量化命题

  • 悖论语句 不是命题

  • 命题形式 不是命题（含未知量的语句）

• 逻辑论证

  • 肯定前件的论证式（真论证）

  • 否定后件的论证式（真论证）

  • 否定前件的论证式（假论证、谬误）

  • 肯定后件的论证式（假论证、谬误）

• 自然语言命题与逻辑符号表示

  • 相容选言 与 非相容选言 的判别：具体语境中应使用 \(P\lor Q\)还是\(P\oplus Q\)

  • 逻辑关系 与 其他数学关系 的辨析：例如假言三段论不等于传递律，大小关系不属于蕴含关系

  • 会将自然语言符号化：用 量词 和 联结词 表达命题含义，清楚何时使用命题逻辑、何时使用两次逻辑

  • 能给出逻辑论证的自然语言实例

逻辑域、命题逻辑、谓词逻辑中的符号

• 逻辑对象、真值、变量、运算

  • 逻辑对象=逻辑真值，仅有 真、假 两个，记为 0、1

  • 逻辑真值集合是逻辑真值的集合，即\(\{0,1\}\)

  • 逻辑变量 是在逻辑真值中取值的变量，一般用小写字母表示

  • 逻辑运算 是定义在逻辑域上的运算，类比定义在实数域上的各种运算

  • 逻辑运算有 优先级，特别注意\(\oplus, \rightarrow, \leftrightarrow\)是常见运算中优先级最低的，其中 \(\oplus\)优先级低于\(\lor\)，运算优先级可以被括号改变

  • 逻辑域上有 相等关系\(=\) 和 推论关系\(\models\)

  • 逻辑域 是真值集合、算符集合、关系集合构成的有序元组，注意算符和关系不止课程介绍的这些，因此课本上的符号记法不严谨

• 真值表与算符性质的研究

  • 会画 算符的真值表 和 逻辑公式的真值表。一般讨论中，「某物的真值表」等价于「真值表中属于某物的表列」，例如“某算符的真值表中有偶数个1”指代该算符的真值表中属于该算符的表列中有偶数个1

  • 掌握通过 添加子公式表列 从而 逐步完成复杂逻辑公式真值表 的方法

  • 会 根据真值表写主析取范式、主合取范式，了解逻辑真值与 命题逻辑极小项、极大项 的关系

  • 会 使用真值表定义新的算符 ，会 使用缩写定义，通过已知算符组合构造未知算符

  • 真值表在研究算符性质时非常有用，关于算符性质的更多内容，第二章中借助真值表有进一步讨论，参见 联结词的完全集

• 命题逻辑变量、联结词

  • 命题变元是用来指代命题的符号 ，通常用大写字母表示，不等同于逻辑变量

  • 命题逻辑合式公式是有穷符号串，提供指派函数时可讨论其真值

  • 命题逻辑中存在 等价关系 和 推论关系 ，相应的存在 等价式 和 推论式

  • 了解等价式、推论式、公式集合、前提、结论等概念

  • 区分联结词和算符的概念，在讨论公式本身、公式变换时我们用联结词不用算符，在讨论真值、运算时则模糊二者的概念

  • 命题逻辑合式公式的复杂度 的实用含义是从输入命题逻辑变元的取值到输出公式的取值之间有多少次无法并行化的运算，需要注意形如\(P\lor Q \lor R\lor S\lor \cdots\)的公式的运算顺序

  • 代换式 是将原公式中的 命题变元 换为命题逻辑合式公式得到的公式

  • 替换式 是将原公式中的 子公式 换为命题逻辑合式公式得到的公式，会按要求写代换式、替换式

  • 会写 对偶式，清楚 对偶定理、对偶式与De'Morgan律的关系

• 谓词逻辑量词、函词、变元

  • 了解谓词、量词和函词，区分谓词、函词和命题逻辑变元的概念

  • 会判断 量词/变元出现的辖域 和 变元的约束/自由出现 ，会 使用第1,2,3...次出现区分同名变元的不同出现

  • 会判断 项对于变元是否可代入

  • 理论上不应考察谓词逻辑公式的代换式、替换式，但实际上似乎处在考察范围内

  • 除非特殊说明，不应使用\(\exists!\)和\(\exists!!\)，它们的语义分别是「至少存在一个」、「至多存在一个」。两者可以使用的前提是承认等词的存在，而一般题目中我们不默认等词存在，而是提供在一定范围内等效于等词的谓词实例

Chapter 2

命题逻辑合式公式的语义

• 命题逻辑合式公式的真值情况是不确定的，只有在提供 指派 的前提下才能讨论它们的确切真值

• 然而，尽管它们的真值通常不确定，但逻辑公式之间却存在确定的真值关系，如 等值关系 和 推论关系 ，利用这些关系可以建立对于逻辑公式的一系列演算

• 掌握 指派的定义 ，会通过 举出特殊指派 和 分类讨论指派情况 来完成证明

• 会进行 指派求值

命题逻辑公式变换中的语义

• 替换式语义、代换式语义

推论式、等价式的语义及其演算

• 对偶定理

命题逻辑公式范式

• 会通过等值演算求合式公式的析取范式、合取范式，主析取范式、主合取范式

联结词的完全集

Chapter 3

谓词逻辑合式公式语义

前束范式、斯科伦范式及其构造性证明

• 了解 斯科伦范式 有两种形式，分别是 无\(\forall\)前束范式 和 无\(\exists\)前束范式
• 会将一般谓词逻辑合式公式转化为斯科伦范式 ；会证明 其构造方法的正确性 ，即证明 斯科伦范式保持原公式的永真性/永假性

解释、结构、模型

Chapter 4

形式系统、公理系统的相关概念

命题逻辑公理系统的概念与使用

谓词逻辑公理系统的概念与使用

Chapter 5

元定理，描述形式系统的定理