群(Group)的定义
代数是用字母表示数，是对数的运算与关系研究的一种抽象（抽象即一般化的讨论）。在这种抽象下，\(2+3\)、\(12+35\)这类表达式都可以用一个抽象的代数表达式\(x+y\)来描述。这是对运算对象的抽象，可以研究数的性质。如果更一般化地我们对“运算”也进行抽象，例如将\(+\)抽象为某个一般的运算符号\(\circ\)，就可以研究运算本身的性质。
对于整数集合\(\Z\)和整数的运算符号\(+\)，我们发现了这样的集合满足如下几个性质：两个整数做加法依然得到整数；整数加法满足结合律；任何整数和0做加法都得到自身；任意整数都存在相反数。当然，整数加法还满足交换律等等许多别的性质。但假若我们只抽象出以上四条性质，一般地讨论满足这四条性质集合及其运算， 我们就得到了“群”(Group)。为此，我们首先要对整数集合和加法运算做抽象。现在，整数集合抽象为一个一般的集合\(G\)。加法运算是\(G\)中元素的一个二元函数，对于任意的\(a,b \in G\)都有一个唯一的\(c\)使得\(a+b=c\)，我们把这样的运算抽象为符号\(\circ\)，称为\(G\)上的一个代数运算。由此给出群的定义：群是一个非空的集合\(G\)，在\(G\)上定义了元素的二元运算\(\circ\)，满足：①封闭性(Closure)，\(\forall a,b\in G,a\circ b \in G\)；②结合律(Associativity)，\(\forall a,b,c,a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c\)；③存在单位元(identity)\(e\)使得\(\forall a \in G,a\circ e=e\circ a =a\)；④存在逆元(inverse)，\(\forall a \in G\)总存在\(a^{-1}\in G\)使得\(a \circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e\)。
一些群的例子
由此可见，\((\Z,+)\)就是一个群，称为“整数加法群”。如果在群的定义上附加上交换律成立，就称为阿贝尔群（Abelian Group，或称可交换群）。\((\Z,+)\)就是一个阿贝尔群。\((\Z,\cdot)\)不是群，因为此时单位元是\(1\)，\(2\)的逆元\(1/2\)并不是整数；\((\Q,\cdot)\)也不是群，因为0不存在一个逆元与它相乘等于1。如果去掉0，可以验证\((\Q^*,\cdot)\)就是一个群，同时是一个阿贝尔群。矩阵乘法不满足交换律，对于确定的\(n\)，以所有\(n\)阶实矩阵为元素，矩阵的乘法为运算，能得到一个群，但不是阿贝尔群。
以上都只讨论了元素个数无限的群。事实上也存在有限的群。例如只有一个元素的群\(G=\{e\}\)，定义\(e\circ e=e\)，这就是一个满足要求的群。对于任意给定的有限整数\(n\)，可以定义\(G=\{0,1,\cdots,n-1\}\)，定义\(\circ\)是模\(n\)意义下的加法\(+_{\text{mod } n}\)，这就是一个群。这样我们就证明了存在任何有限大小的群。
群的性质
单位元的唯一的。假设存在两个不相等的单位元\(e\neq e'\)，那么根据单位元的定义，因为\(e'\)是单位元有\(e \circ e'=e'\circ e=e\)，因为\(e\)是单位元有\(e' \circ e=e\circ e'=e'\)。因此\(e'=e\)，矛盾。
任何一个元素有唯一的逆元。对于任意\(a\)，假设\(a\)有两个不同的逆元\(b,b'\)。那么\(b=e\circ b\)，代入\(b'\circ a =e\)，有\(b=(b'\circ a)\circ b\)，根据结合律\(b=b'\circ (a\circ b)\)。而\(a\circ b=e\)，因此\(b=b'\circ e=b'\)，矛盾。由此可见，始终有\((a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}\)。因为我们可以验证\((a\circ b)(b^{-1}\circ a^{-1})=(b^{-1}\circ a^{-1})(a\circ b)=e\)，而逆元是唯一的。更一般的，\((a_1\circ \cdots \circ a_n)=a_n^{-1}\circ \cdots \circ a_1^{-1}\)。
消去律成立。\(a\circ b=a\circ c\iff b= c\)。左推右，由于二元运算是函数，因此\(a^{-1}\circ (a\circ b)=a^{-1}\circ (a\circ c)\)，运用结合律即可。右推左，运用二元运算的函数性质即可。同理，\(b\circ a=c\circ a \iff b=c\)。
引入群上的指数运算。记\(a\circ a=a^2\)，\(a\circ a\circ a=a^3\)以此类推，那么根据结合律容易证明：\(a^{m+n}=a^m\circ a^n\)，\(a^{mn}=(a^m)^n\)。
群的等价定义
在群的定义中，我们要求单位元同时作为任意元素的左单位元和右单位元，要求任意元素既有左逆又有右逆。事实上我们可以弱化这一条件，只要求任意元素存在左单位元，同时任意元素具有左逆。下面我们证明这两种定义方式是等价的，于是以后我们就可以用这种简化了的群的等价定义了：由原定义推出简化定义是显然的，我们只需证明简化定义可以推出原定义。假设任意元素都有左逆（关于左单位元\(e_L\)），那么\(\forall a,\exists a'\)使得\(a'\circ a=e_L\)。\(a'\)也有左逆，存在\(a''\)使得\(a''\circ a'=e_L\)。那么\(a\circ a'=(e_L\circ a) \circ a'=((a''\circ a')\circ a)\circ a'\)，代入\(a'\circ a = e_L\)，根据结合律有\(a''\circ (e_L\circ a')=a''\circ a'=e_L\)。可见\(a\)的左逆同时也是\(a\)的右逆（关于左单位元）。对于任意的\(a\)，假设其逆元为\(a'\)，那么\(a\circ e_L=a\circ (a'\circ a)=(a\circ a')\circ a=e_L\circ a=a\)，可见左单位元一定也是右单位元，证毕。综上，我们得到了一个群的等价定义：封闭；结合律；存在左单位元；存在左逆。
“存在单位元与存在逆元”与以下条件等价：对于任何\(a,b\in G\)，存在\(x\in G\)使得\(a\circ x=b\)，存在\(y\in G\)使得\(y\circ a=b\)。左推右显然，只需取\(x=a^{-1}\circ b\)，\(y=b\circ a^{-1}\)。右推左，对于固定的\(a\)，存在\(y_0\)使得\(y_0\circ a=a\)；\(\forall g \in G\)，一定存在\(x_0\in G\)使得\(a\circ x_0=g\)，那么\(y_0\circ g=y_0\circ (a\circ x_0)=(y_0\circ a)\circ x_0=a\circ x_0=g\)，可见\(y_0\)是左单位元\(e_L\)。而对于任意的\(h \in G\)，根据条件一定存在\(z\in G\)使得\(h\circ z=e_L\)，可见任何元素都存在右逆。而存在左逆和存在左单位元等价于存在逆元和存在单位元。由此可见，群的另一种等价定义为：封闭；结合律；对于任何\(a,b\in G\)，存在\(x\in G\)使得\(a\circ x=b\)，存在\(y\in G\)使得\(y\circ a=b\)。
对于有限群，我们注意到这样一条性质：设\(G=\{g_1,\cdots,g_n\}\)，定义函数\(f_a(g_i)=a\circ g_i\)，如果左消去律成立，也即如果成立\(a\circ g_i=a\circ g_j\implies g_i=g_j\)，那么其逆否命题告诉我们\(g_i\neq g_j\implies a \circ g_i \neq a\circ g_j\)，也即\(f_a\)是单射。而群的运算是封闭的，因此\(f_a\)必然是双射，\(\{a\circ g_i\}\)是\(\{g_i\}\)的一个permutation。这直接能够说明对于任意的\(a,b\in G\)，\(a\circ x=b\)都是有根的。同理，右消去律能推出\(y\circ a=b\)有根。而左右消去律本身就是（有限）群的性质。因此对于有限群，我们可以把\(a\circ x=b,y\circ a=b\)这一等价定义修改为左消去律与右消去律成立。有限群的等价定义为：封闭；结合律；左消去律；右消去律。注意，在这里有限很重要。一个无限集合仅满足封闭、结合律和左右消去律并不一定能构成群，以\((\N,+)\)为例，满足左右消去律，但是任何\(n>0\)都不存在逆元。体现在证明中，一个无限域上的单射并不能推出双射，因此不能沿用刚才的证明。
子群(Subgroup)
如果群\(G\)的一个非空子集\(H\)也是一个群，就称\(H\)是\(G\)的子群，记为\(H \preceq G\)。如果\(H \neq G\)，则称\(H\)是\(G\)的真子群，记为\(H \prec G\)。仅由单位元构成的群\(\{e\}\)一定是\(G\)的子群，\(G\)本身也永远是\(G\)的子群。
下面定义子群的代数运算和子群的逆。对于\(H_1,H_2 \preceq G\)，定义\(H_1\circ H_2:=\{h_1\circ h_2\mid h_1\in H_1,h_2\in H_2\}\)。对于\(H \preceq G\)，定义\(H^{-1}:=\{h^{-1}\mid h \in H\}\)。
子群的等价定义
对于\(G\)的非空子集\(H\)，\(H\preceq G\iff H\circ H \subseteq H\and H^{-1}\subseteq H\)。左推右：因为\(H\)是封闭的，因此其中任意两个元素运算后仍落在\(H\)中，因此\(H\circ H \subseteq H\)；因为\(H\)中每个函数都有落在\(H\)中的逆元，因此\(H^{-1}\subseteq H\)。右推左：\(H\circ H \subseteq H\)意味着\(H\)中的元素关于代数运算封闭；\(H\)的结合律直接继承\(G\)的结合律；对于任意\(h\in H\)，因为\(H^{-1}\subseteq H\)，因此\(h^{-1}\in H\)，因此每个元素都在\(H\)中有逆元，且\(h\circ h^{-1}\)就是单位元，它落在\(H\circ H\)中，因此也落在\(H\)中。
我们加强这一等价定义，证明\(H\circ H \subseteq H \and H^{-1}\subseteq H\iff H\circ H=H\and H^{-1}=H\)。右推左显然。左推右，根据定义\(H\circ H = \bigcup\limits_{h \in H}h\circ H\)，因此\(e\circ H \subseteq H\circ H\)。而\(e\circ H=H\)，且\(H\circ H \subseteq H\)，因此\(H \subseteq H\circ H \subseteq H\)，因此\(H=H\circ H\)；已知\(H^{-1}\subseteq H\)，根据逆元的唯一性两边同时取逆包含关系依然成立，因此\((H^{-1})^{-1}\subseteq H^{-1}\)，也即\(H\subseteq H^{-1}\)，因此\(H^{-1}\subseteq H \subseteq H^{-1}\)，因此\(H=H^{-1}\)。
另一个子群的等价定义写作：\(H\preceq G \iff\forall a,b\in H,a\circ b^{-1}\in H\)。我们验证群的定义的四条性质（结合律可以不用验证）：取\(a\in H,a\in H\)，有\(a\circ a^{-1}=e\in H\)，因此存在单位元；取\(e\in H,a\in H\)，有\(e\circ a^{-1} = a^{-1}\in H\)，因此存在逆元；取\(a\in H,b\in H\)，则\(b^{-1}\in H\)，因此有\(a\circ (b^{-1})^{-1}=a\circ b \in H\)，因此封闭。证毕。同理也可以证明该定义等价于\(\forall a,b \in H,a^{-1}\circ b \in H\)。
子群的交与并
设\(H_1,H_2\preceq G\)，如果\(H_1\subseteq H_2\)或\(H_2\subseteq H_1\)，那么显然\(H_1\cup H_2\preceq G\)。现在我们要证明，如果不存在这样的包含关系，即存在\(h_1 \in H_1\and h_1 \not\in H_2\)且\(h_2 \in H_2\and h_2 \not\in H_1\)，那么一定有\(H_1\cup H_2 \not \preceq G\)。证明如下：假设\(H_1\cup H_2 \preceq G\)，那么一定有\(h_1\circ h_2 \in H_1\cup H_2\)。如果\(h_1 \circ h_2 \in H_1\)，也即存在\(h_1'\in H_1\)使得\(h_1\circ h_2=h_1'\)，那么\(h_2=h_1'\circ h_1^{-1}\)，而\(h_1' \in H_1\)，\(h_1^{-1}\in H_1\)，因此\(h_2=h_1'\circ h_1^{-1} \in H_1\)，矛盾；同理\(h_1\circ h_2 \in H_2\)也不成立，因此\(H_1\cup H_2\not\preceq G\)。
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