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Replace on Segment

时间:2024-02-22 14:23:03浏览次数:35  
标签:分段 覆盖 Replace 整个 区间 操作 Segment 转移

看了一下数据范围就知道是区间DP

像这种选择区间的操作,我们一般都会猜一个结论:对区间\([l,r]\)的某种操作序列,如果没有一次操作是覆盖了整个区间的,那么中间一定可以找到一个分段点(这样才可以进行区间DP的枚举分段点的经典转移)

实际上,这道题目也是有类似的性质的

然后放一下正式证明,有兴趣就看一下吧

然后我们就可以设出一个状态:设\(f[i][j][k]\)表示将区间\([i,j]\)变换为\(k\)的最小代价

然后枚举分段点转移即可

但是就像我们上面说的这样,可以使存在一种操作覆盖全部区间的

如果这个操作不是将这个区间改成\(k\),那么接下来的一次操作肯定是再次覆盖整个区间,将这个区间变成\(k\)(也就可以归入下面的情况)

如果这个操作是将这个区间改成\(k\),那么之前的操作一定是将\([i,j]\)中所有等于\(k\)的数全部移除

所以我们设\(g[i][j][k]\)表示将区间\([i,j]\)中所有\([k]\)移除掉的最小代价

一种转移方式当然是枚举分段点(就像我们上面说的这样,如果没有某一次操作是覆盖整个区间的话)

如果某一次操作是覆盖整个区间了,那么最后一次操作一定是覆盖整个区间的操作,而且这次操作显然不是将区间变成\(k\)(如果某次覆盖整个区间的操作是将整个区间变成\(k\),那么下一次操作一定是将区间变成非\(k\),如果某次覆盖整个区间的操作不是将整个区间变成\(k\),那么这就是最后一次操作),所以有转移\(g[i][j][k]=g[i][j][l]+1\),其中\(l!=k\),意味着我们先将这个区间变成不含\(l\)的,然后最后一次操作将这个区间变成\(l\)

以上操作存在循环转移,为了避免类似情况,我们先进行分段点的转移,然后记录最小值,显然这个最小值不会再改变,然后利用这个最小值去改变区间状态(第二种转移)

这个思想非常秒,可以记住

标签:分段,覆盖,Replace,整个,区间,操作,Segment,转移
From: https://www.cnblogs.com/dingxingdi/p/18027223

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