加法和乘法的含义？

背景：

做题遇到一个dp数组是 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

不明白这里的为什么是加法，用乘法不行吗？由此，产生了加法和乘法的含义是什么？

咨询了AI，总结过程如下：

问题1：

leetcode 62. 不同路径 

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。 问总共有多少条不同的路径？

我看的有一个答案是这样写的

```class Solution: def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:

# 创建一个二维列表用于存储唯一路径数

dp = [[0] * n for _ in range(m)]

# 设置第一行和第一列的基本情况

for i in range(m):

dp[i][0] = 1 for j in range(n):

dp[0][j] = 1 # 计算每个单元格的唯一路径数

for i in range(1, m):

for j in range(1, n):

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

# 返回右下角单元格的唯一路径数

return dp[m - 1][n - 1]```

请问这里的dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]为什么是加法，不是乘法？这里的加法是什么含义？

AI回答：

在这个问题中，dp[i][j]代表从起点到达网格(i,j)位置的不同路径总数。   为什么是加法而不是乘法的理由是，对于任何一个非边缘的网格(i,j)，你只能从它的上方网格(i-1, j)或者左边网格(i, j-1)到达它。因此，到达网格(i,j)的路径总数就是从上方到达网格(i-1, j)的路径总数加上从左边到达网格(i, j-1)的路径总数。换句话说，到达网格(i,j)的所有路径可以分为两个不交叉的集合 - 一个是所有路径的结尾是向下的，另一个是所有路径的结尾是向右的。   如果我们使用乘法，那意味着我们在组合每一个可能的路径来从上方和左边同时到达一个网格，这在逻辑上是说不通的，因为你无法同时从上方和左边到达同一个网格。   换句话说，加法代表的是路径总数的一个并集，而乘法会代表路径总数的交集或者重复计数，这在这个问题的情境中是没有意义的。   简而言之，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]是因为到达网格(i,j)的路径是由两个独立的来源合并结果的：一部分是从上方下来的路径总数，另一部分是从左侧过来的路径总数。

问题2：关于加法和乘法的含义，能在具几个其他的例子吗？我现在对加法的含义和乘法的含义，有些模糊了。

AI回答

当然可以。让我们通过几个例子来区分加法和乘法在不同情况下的含义。   ### **加法 - 计数“或”关系（不同选择的合并）** 当我们考虑选择时，如果选择是相互独立的，即可以这样选或者那样选，我们会用加法来合并不同选择的可能性总数。   **例子1: 抛硬币** - 如果你抛一枚硬币，它可以是正面（1种可能性）或是反面（1种可能性）。那么总共的可能性就是 1（正面） + 1（反面）= 2种可能性。   **例子2: 点餐** - 如果你可以从三种不同的汤（A、B、C）和两种不同的主菜（X、Y）中选择，但你只能选择一种汤和一种主菜，那么选择一种汤的可能性是 3（A或B或C），两种主菜的可能性是 2（X或Y）。总共的可能性不是汤和主菜的结合，因此不用乘法。汤和主菜是独立选择的。   ### **乘法 - 计数“与”关系（独立事件的组合）** 当我们考虑组合时，若两类事件是完全独立的，并且一个事件的每个结果都可以与另一个事件的每个结果一起出现时，我们会使用乘法来计算所有可能组合的总数。   **例子1: 抛两枚硬币** - 如果你抛两枚硬币，第一枚有2种可能的结果（正面或反面），第二枚同样有2种可能的结果。因为第一枚硬币的结果并不影响第二枚的结果，所有可能的结果组合将是 2（第一枚）* 2（第二枚）= 4种可能性。   **例子2: 点餐（续）** - 如果我们假定前面例子中提到的汤和主菜是两道独立的菜，并且你必须同时选择一种汤和一种主菜，则总的组合数将是 3（汤）* 2（主菜）= 6种不同的组合。   简而言之，加法用在计数时有选择的“或”关系（比如这个或那个），而乘法用在不同独立事件的组合上。希望这些例子有助于解释加法和乘法在不同情况下的用法和含义。

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我的总结：

加法是一个事件中选择这个或那个。

乘法是多个独立的事件，统计每个事件的可能性。

比如：现在厨房里有3种汤，2种主食，厨师需要准备几种食材？需要准备5种。（这里只有一个事件，是准备食材的事件）

现在孩子想吃，要求孩子只能选择1种汤和1种主食，问有几种选法？有6种选法。（每次选择是独立的事件，一共能选择两次。）