[WC/CTS2024] 水镜

不知道大家还记不记得这样一件事情：

• 当我们要证明一个数列 \(\{a_n\}\) 单调递增时，只需证 \(a_i < a_{i+1}\)。

这是我场上的核心思路：如果要说明二元组 \((u,v)\) 合法，只需使得其中每相邻两项都递增。

注意到这题的 \(L\) 是我们自己定的，所以这里就有一个思路：考虑 \(L\) 在那些位置是合法的，如果哪里都不合法就失败了。

考虑相邻的两个 \(h_u\)，\(h_v\)，不妨设 \(h_u < h_v\)，发现若 \(L < \dfrac{h_u + h_v}{2}\)，那么必不能翻 \(h_v\)，否则必不能翻 \(h_u\)。对于 \(h_u \ge h_v\) 的情况是类似的，但是这里的限制是必翻。

对于每相邻三项，中间那项不能既翻又不翻。于是这就带来了一个对 \(L\) 的限制。不难发现，我们如果要判断二元组 \((l, r)\) 是否合法，只需将包含的限制交起来看看是否为空集就行了，如果存在合法的 \(L\)，按照上面的翻法一定可以构造合法。所以我们就找到了充要条件。剩下的随便用一个 rmq 算法即可。