小苯的逆序对

题目描述

小苯有一个长度为 $n$ 的排列 $p$。他很想知道这个排列中有多少个逆序对满足互素。

形式化的，有多少个满足 $(i<j)$ 且 $(a_i > a_j)$ 且 $gcd(a_i, a_j) = 1$ 的 $(i, j)$ 对。

输入描述:

输入包含两行。

第一行一个正整数 $n(1 \leq n \leq 2\times 10^5)$。表示排列的长度。

第二行 $n$ 个正整数 $p_i (1 \leq p_i \leq n)$ 表示排列 $p$，保证 $1$ 到 $n$ 的每个正整数出现且恰好仅出现一次。

输出描述:

输出包含一行一个整数，表示排列 $p$ 的互素逆序对个数。

示例1

输入

5
5 4 3 2 1

输出

9

示例2

输入

8
1 3 8 7 2 4 6 5

输出

8

示例3

输入

2
1 2

输出

0

备注:

其中 $gcd(x, y)$ 表示 $x, y$ 的最大公因数，例如 $gcd(12, 16) = 4, gcd(1, 4) = 1$。

解题思路

  D. Counting Rhyme 的变形。现在变成求满足 $\gcd(a_i, a_j) = 1$ 的逆序对 $(a_i, a_j), \, a_i > a_j, \, i < j$ 的数量。

  定义 $f_i$ 表示 $\gcd$ 恰好等于 $i$ 的逆序对的数量，先求出所有 $\gcd$ 是 $i$ 的倍数的逆序对的数量，记作 $s$。做法是先把 $a$ 中所有是 $i$ 的倍数的元素按原本顺序选出来，然后对选出来的元素用树状数组求逆序对数量。最后根据容斥的思想，有 $f_i = s - f_{2i} - f_{3i} - \cdots - f_{\left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor \cdot i}$。倒叙枚举依次求出 $f_i$ 即可。

  最后答案就是 $f_1$。

  AC 代码如下，时间复杂度为 $O(n \log{n})$：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 2e5 + 10;

int n;
vector<int> g[N];
LL f[N];
int tr[N];

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
        tr[i] += c;
    }
}

int query(int x) {
    int ret = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) {
        ret += tr[i];
    }
    return ret;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        for (int j = 1; j * j <= x; j++) {
            if (x % j == 0) {
                g[j].push_back(x);
                if (x / j != j) g[x / j].push_back(x);
            }
        }
    }
    for (int i = n; i; i--) {
        LL s = 0;
        for (int j = 0; j < g[i].size(); j++) {
            s += j - query(g[i][j]);
            add(g[i][j], 1);
        }
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) {
            s -= f[j];
        }
        f[i] = s;
        for (int j = 0; j < g[i].size(); j++) {
            add(g[i][j], -1);
        }
    }
    printf("%lld", f[1]);
    
    return 0;
}

参考资料

  题解 | #牛客小白月赛87 #：https://blog.nowcoder.net/n/2804f9f3cb1e4590b1d97bef99b8f28f?