烧脑问题收集
前言
求解思路比较独特，故做以收集。
典例剖析
已知 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) 是正整数，\(a^3=b^2\)，\(c^5=d^4\)，\(c-a=77\)，则 \(d-b=\)
解：由 \(a^3=b^2\)，变形得到 \(a\cdot a^2=b^2\)，故 \(a=\cfrac{b^2}{a^2}\)；
同理，由 \(c^5=d^4\)，变形得到 \(c\cdot c^4=d^4\)，故 \(c=\cfrac{d^4}{c^4}\)；
又由 \(c-a=77\)，即 \(\cfrac{d^4}{c^4}-\cfrac{b^2}{a^2}=77\)，则 \((\cfrac{d^2}{c^2})^2-(\cfrac{b}{a})^2=77\)
故 \((\cfrac{d^2}{c^2}+\cfrac{b}{a})\cdot(\cfrac{d^2}{c^2}-\cfrac{b}{a})=77=11\times7\)， [1]
又由于 \(\cfrac{d^2}{c^2}+\cfrac{b}{a}>\cfrac{d^2}{c^2}-\cfrac{b}{a}\)，故得到方程组如下：
\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{d^2}{c^2}+\cfrac{b}{a}=11 ①}\\{\cfrac{d^2}{c^2}-\cfrac{b}{a}=7 ②}\end{array}\right.\quad\)
\(① + ②\) 得到，\(d^2=9c^2\)，则 \(d=3c\)，
\(① - ②\) 得到，\(b=2a\)，
由 \(c^5=d^4\)，则 \(c^5=81c^4\)，解得 \(c=81\)，
由 \(c-a=77\)，解得 \(a=4\)，则 \(b=8\)，\(d=3\times81=243\)，
故 \(d-b=243-8=235\)
- 当然，也可以这样分解 \(77=77\times1\)，仿照题目的求解思路，得到 \(d^2=39c^2\)，即 \(d=\sqrt{39}c\)，不符合 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) 是正整数的要求，故这种分解 \(77=77\times1\)就排除了。 ↩︎