最小生成树

\(n\) 个点用 \(n-1\) 条边连接成一个连通块，形成的图形只可能是树

一个有 \(n\) 个点的连通图，边一定是大于等于 \(n-1\) 条的。图的最小生成树，就是在这些边中选择 \(n-1\) 条出来，连接所有的 \(n\) 个点。这 \(n-1\) 条边的边权之和是所有方案中最小的。

Prim算法

适用于稠密图，时间复杂度 \(O(n^2)\)

核心思想：每次挑一条与当前集合相连的最短边。

// vis[i] 表示点i是否在当前生成树集合中
// dis[i] 表示点i到当前集合的最短边的长度
// g[i][j] 表示点i和点j的边权
// 返回值：最小生成树中所有边的总长度
int Prim() {
    int mst = 0;
    memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    dis[1] = 0; //选 1 当起点
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int k = -1, minn = INF;
        // 寻找最短边
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!vis[j] && dis[j] < minn) {
                k = j;
                minn = dis[j];
            }
        }
        vis[k] = true;
        mst += dis[k];
        // 用新加入的点 k 更新到邻接点的最短边
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!vis[j]) dis[j] = min(dis[j], g[k][j]);
        }
    }
    return mst;
}

Kruskal算法

适用于稀疏图，时间复杂度 \(O(m\log m)\)

核心思想：按照边权升序排列，从小到大选边，如果不构成环，则加入mst，否则跳过。

const int N = 1e5 + 10;
const int M = 1e6 + 10;
//存边
struct Edge {
    int from, to, w;
    bool operator < (const Edge &A) const {
        return w < A.w;
    }
} edge[M];
int n, m; //n个点，m条边
int fa[N]; //并查集

//并查集初始化
void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
}

//递归找根结点，路径压缩
int find1(int x) {
    if (fa[x] != x) fa[x] = find1(fa[x]);
    return fa[x];
}

//非递归找根结点，路径压缩
int find2(int x) {
    int tmp = x, rt;
    while (fa[x] != x) x = fa[x];
    rt = x;
    x = tmp;
    while (fa[x] != x) {
        tmp = fa[x];
        fa[x] = rt;
        x = tmp;
    }
    return rt;
}

void kruskal() {
    int mst = 0, cnt = 0, k = 1, rx, ry;
    while (cnt < n-1) { //找 n-1 条边
        rx = find1(edge[k].from);
        ry = find1(edge[k].to);
        if (rx != ry) {
            mst += edge[k].w;
            fa[rx] = ry;
            cnt++;
        }
    }
    cout << mst << endl;
}

int main() {
    cin >> n >> m; //输入点数、边数
    int from, to, w;
    init();
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> edge[i].from >> edge[i].to >> edge[i].w;
    }
    sort(edge+1, edge+1+m);
    kruskal();
    return 0;
}