烧脑问题收集

前言

求解思路比较独特，故做一收集。

典例剖析

已知 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) 是正整数，\(a^3=b^2\)，\(c^5=d^4\)，\(c-a=11\)，则 \(d-b=\) ?

解：由 \(a^3=b^2\)，变形得到 \(a\cdot a^2=b^2\)，故 \(a=\cfrac{b^2}{a^2}\)；

同理，由 \(c^5=d^4\)，变形得到 \(c\cdot c^4=d^4\)，故 \(c=\cfrac{d^4}{c^4}\)；

又由 \(c-a=11\)，即 \(\cfrac{d^4}{c^4}-\cfrac{b^2}{a^2}=11\)，则 \((\cfrac{d^2}{c^2})^2-(\cfrac{b}{a})^2=11\)

故 \((\cfrac{d^2}{c^2}+\cfrac{b}{a})(\cfrac{d^2}{c^2}-\cfrac{b}{a})=11=11\times1\)，

又由于 \(\cfrac{d^2}{c^2}+\cfrac{b}{a}>\cfrac{d^2}{c^2}-\cfrac{b}{a}\)，故得到方程组如下：

\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{d^2}{c^2}+\cfrac{b}{a}=11 ①}\\{\cfrac{d^2}{c^2}-\cfrac{b}{a}=1 ②}\end{array}\right.\quad\)

①+② 得到，

①-② 得到，