「Geometry of Conics」读书笔记

英文书籍，对我这种纯正中国人十分不友好，咬着牙啃下去了。不想看英文书又找不到中译本的有福了。

Chapter 1 - Elementary Properties of Curves of Second Degree

如题，都是二次曲线的简单性质和几个等价定义。

光学性质

\(\mathbf{Theorem\ 1.1}\) 如下图，\(l\) 为椭圆 \(C\) 在 \(P\) 点的切线，图中标出的两角（ \(\angle F_1PX\) 与 \(\angle F_1Pl\) ）是相等的，因为 \(F_1X + F_2X > F_1P + F_2P\)，所以光从 \(F_1\) 射向 \(P\) 后沿 \(PF_2\) 方向射出（费马原理）。

抛物线与双曲线的情形如下图，与椭圆类似，结论的证明留作习题（注：考虑反证法，辅助线已画出）。

\(\mathbf{Theorem\ 1.2}\) 如下图，\(F_1\) 和 \(F_2\) 为椭圆 \(C\) 的焦点，\(PQ\) 为过点 \(F_1\) 的椭圆 \(C\) 的弦，分别在 \(P, Q\) 点处的 \(C\) 的切线交于一点 \(R\)，则 \(R\) 为 \(\triangle F_2PQ\) 的旁心，且 \(PQ \perp F_1R\)。

由光学性质可知 \(R\) 为 \(\triangle F_2PQ\) 的两外角（ \(\angle F_2PQ\) 和 \(\angle F_2QP\) 的补角 ）的角平分线的交点，则 \(R\) 为 \(\triangle F_2PQ\) 的旁心。过点 \(R\) 分别做 \(RF_1' \perp PQ, RX \perp F_2P, RY \perp F_2Q\)，垂足分别为 \(F_1', X, Y\)。
则 \(PX = PF_1', QY = QF_1'\)，故 \(F_2X = F_2P + PX = F_2P + F_1'P, F_2Y = F_2Q + QY = F_2Q + F_1'Q\)，又知 \(R\) 为 \(\triangle F_2PQ\) 的旁心，故 \(F_2X = F_2Y\) 即 \(F_2P + F_1'P = F_2Q + F_1'Q\)，而 \(F_2P + F_1'P + F_2Q + F_1'Q = 4a\)，则 \(F_2P + F_1'P = F_2Q + F_1'Q = 2a\) 即 \(F_1'\) 与 \(F_1\) 重合。

对双曲线而言，\(\mathrm{Theorem\ 1.2}\) 中的旁心改成内心后仍成立。

等角共轭

\(\mathbf{Theorem\ 1.3}\) 如下图，给定一个椭圆 \(C\) 和 \(C\) 外一点 \(P\)，过 \(P\) 做 \(C\) 的两条切线，切点分别为 \(X, Y\)，若 \(F_1, F_2\) 分别为 \(C\) 的焦点，则 \(\angle F_1PX = \angle F_2PY\)。

做 \(F_1\) 关于 \(PX\) 的对称点 \(F_1'\) 与 \(F_2\) 关于 \(PY\) 的对称点 \(F_2'\)，连接 \(XF_1, XF_2, XF_1', YF_1, YF_2, YF_2'\)。
由光学性质和对称的性质可知：\(\angle F_2XP = \pi - \angle F_1XP = \pi - \angle F_1'XP\) 即 \(\angle F_2XP + \angle F_1'XP = \pi\)，故 \(F_2, X, F_1'\) 共线，同理 \(F_1, Y, F_2'\) 共线。\(F_1'F_2 = F_1'X + F_2X = F_1X + F_2X = 2a\)，同理 \(F_1F_2' = 2a\)，则 \(F_1'F_2 = F_1F_2'\)。又因为 \(F_1P = F_1'P, F_2P = F_2'P\)，故 \(\triangle PF_1'F_2 \cong \triangle PF_1F_2'\)，则 \(\angle F_1'PF_2 = \angle F_1PF_2'\) 即 \(\angle F_1'PF_1 = \angle F_1'PF_2 - \angle F_1PF_2 = \angle F_1PF_2' - \angle F_1PF_2 = \angle F_2PF_2'\)，则 \(\angle F_1PX = \angle F_2PY\)。

对于双曲线，也有着相似的结论，如下图，此时 \(\angle F_1PX = \pi - \angle F_2PY\)。

假设有一个以 \(F_1, F_2\) 为焦点的椭圆 \(C\) 内切于 \(\triangle ABC\)，由 \(\mathrm{Theorem\ 1.3}\) 可知 \(\angle BAF_1 = \angle CAF_2, \angle ABF_1 = \angle CBF_2, \angle BCF_1 = \angle ACF_1\)。

回归 \(\mathrm{Theorem\ 1.3}\) 中的构型，由 \(\triangle F_1'PF_2 \cong \triangle F_1PF_2'\) 可知 \(\angle PF_1X = \angle PF_1'F_2 = \angle PF_1F_2' = \angle PF_1Y\)，由此得到下面的 \(\mathrm{Theorem\ 1.4}\)。

\(\mathbf{Theorem\ 1.4}\) 如下图，给定一个椭圆 \(C\) 和 \(C\) 外一点 \(P\)，过 \(P\) 做 \(C\) 的两条切线，切点分别为 \(X, Y\)，若 \(F_1, F_2\) 分别为 \(C\) 的焦点，则 \(PF_1\) 平分 \(\angle XF_1Y\)。

\(\mathbf{Theorem\ 1.5}\) 如下图，给定一个椭圆 \(C\) 和 \(C\) 外一点 \(P\)，过 \(P\) 做 \(C\) 的两条切线，切点分别为 \(X, Y\)，若 \(F_1, F_2\) 分别为 \(C\) 的焦点，\(\angle XPY = \frac{\pi}{2}\)，则 \(P\) 的轨迹为一个以 \(C\) 的中心为圆心的圆。

做 \(F_1\) 关于 \(PX\) 的对称点 \(F_1'\)，连接 \(F_1'P, F_1P, F_1'X, F_2X\)。
由 \(\mathrm{Theorem\ 1.3}\) 得 \(F_1', X, F_2\) 共线且 \(\angle F_2PY = \angle F_1PX = \angle F_1'PX\)，则 \(\angle F_1'PF_2 = \angle F_1'PX + \angle XPF_2 = \angle XPF_2 + \angle F_2PY = \angle XPY = \frac{\pi}{2}\)，故 \(F_1P^2 + F_2P^2 = F_1'P^2 + F_2P^2 = F_1'F_2^2 = 4a^2\)。令 \(O\) 为 \(C\) 的中心，则 \(O\) 为 \(F_1F_2\) 的中点，则有 \(OP^2 = \frac{1}{2} (F_1P^2 + F_2P^2) - \frac{1}{4} F_1F_2^2\)（余弦定理），故 \(P\) 的轨迹为以 \(O\) 为圆心的圆。

对于双曲线而言，\(\mathrm{Theorem\ 1.5}\) 中的 \(P\) 的轨迹并不总是存在的，因为 \(OP^2 = \frac{1}{2} (F_1P^2 + F_2P^2) - \frac{1}{4} F_1F_2^2 = 2a^2 - c^2\)。当双曲线的虚轴长大于实轴长时，\(2a^2 - c^2 < 0\)，此时 \(P\) 的轨迹是一个半径为虚数的圆（这么神秘）。

更一般的，对于平面上 \(n\) 个定点 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 和 \(n\) 个定值 \(k_1, k_2, \cdots, k_n\) 以及定值 \(C\)，满足 \(\sum_{i = 1}^n k_i X_iP^2 = C\) 的点 \(P\) 的轨迹是一个圆，这个圆被称为“费马——阿波罗尼圆”（我也不知道这是啥，嗯搜半天没搜出来）。