如何理解一个线性方程组？
考虑这样一个方程组：\(\left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
2x-y&=0\\
-x+2y&=3
\end{aligned}
\end{matrix}\right.\)
在之前的理解方式中，求解这个线性方程组就是求解同时满足两个等式：\(2x-y=0\)和\(-x+2y=3\)的\((x, y)\)的取值。
对求解过程的理解
求解的过程可以理解为：从两个独立的未知量\(x\)和\(y\)开始，逐步增加约束条件来缩小解空间（每一个方程就是一个约束条件），如果最终能够将解空间缩小到一个点上，那么这个点就是我们要求的\((x, y)\)的值。
比如在这个例子中，一开始没有额外的约束条件，只有两个独立的未知量\(x\)和\(y\)，此时解空间是整个二维平面。下面逐步增加约束条件：
- 增加约束条件\(2x-y=0\)，此时解空间被限制到一条直线上，也就是下图中的蓝色直线
- 增加约束条件\(-x+2y=3\)，此时解空间被限制到下图中的黄色直线上
综合以上2个约束条件，求与，最终将解空间限制到点\((1, 2)\)处。因此该线性方程组有解，且解是\((x=1, y=2)\)。
如果将这个线性方程组的第二个方程改为：\(4x-2y=0\)，该方程对应的直线也是蓝色直线，因此这个方程并没有对解空间有什么额外的约束，对我们求解方程组也没有提供帮助，此时线性方程组的解空间无法被缩小到一个点上，因此无法求解。
如果将这个线性方程组的第二个方程改为：\(2x-y=3\)，该方程确实对解空间有了一个新的约束，但这个新的约束对应一条和蓝色直线平行的直线，这意味着两个约束条件是冲突的，或者说对两个约束条件求与之后得到的是空集。此时方程组也无解。
值得注意的是“条件不足无法求解”和“条件冲突方程组无解”是两种不同的情况。
对单个线性方程的解理解
对于一个线性方程，比如\(2x-y=0\)，有两种理解它的解的方式：
- 【以未知量为中心】\(x\)和\(y\)是未知量，该线性方程是对\(x\)和\(y\)的关系的一种描述，求解就相当于在问“已知\(x\)和\(y\)的关系是：2个\(x\)等于1个\(y\)，满足这样关系的\(x\)和\(y\)有哪些？”
- 【以系数为中心】现在有两个数字2和-1，取几个2和几个-1放在一起可以得到数字0呢？（类似于只有5块钱和1块钱，问要付8元的话应该怎么组合）
对线性方程组的解的理解
举例的这个线性方程组是有解的，解为\((x=1, y=2)\)，对这个解有以下两种理解方式：