1
\(u, v \in R^n\)，矩阵\(A=I+uv^T\)，投影算子\(P=I-uu^T/u^Tu\)，SM公式\(M=A-uv^T,M^{-1}=A^{-1}+A^{-1}uv^TA^{-1}/(1-v^TA^{-1}u)\)
1、证明：矩阵A的逆是\(A^{-1}=I+auv^T\)，并求出a关于u、v的表达式；
2、证明：\(<pv,u>=0\)；
3、请说明SM公式中分子如何结合，计算复杂度\(O(n)\)，\(u^Tv\)的计算复杂度为\(O(n)\)，说明为什么分母是个数；
4、验算\(MM^{-1}=I\)。
解
1、
根据题意，要证明矩阵A的逆是\(A^{-1}=I+auv^T\)，我们有
\[\begin{aligned} AA^{-1} & = (I + uv^T)(I+auv^T) \\ &= I + auv^T + uv^T + uv^Tauv^T \end{aligned} \]显然有\(AA^{-1}=I\)，所以
\[auv^T + uv^T + uv^Tauv^T = 0 \]\[auv^T + uv^T + uv^Tauv^T = (a+1)uv^T + a(uv^T)(uv^T) = (a+1 +uv^Ta)uv^T = 0 \]\[∴ a = \frac{-1}{1+uv^T} \]即
\[A^{-1} = I-\frac{uv^T}{1+uv^T} \]2、
我们有
\[\begin{aligned} <pv,u> &= <(I-uu^T/u^Tu)v,u> \\ &= <v, u> - <(uu^T/u^Tu)v,u> \\ &= <v, u> - \frac{<uu^Tv, u>}{u^Tu} \\ &= <v, u> - \frac{<v, u>u^Tu}{u^Tu} \\ &= <u, v> - \frac{<u, v>u^Tu}{u^Tu} \\ &= <u, v> - \frac{<u, v>u}{u^Tu} \\ &= 0 \end{aligned} \]3、
SM 公式为 \(M^{-1} = A^{-1} + \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 - v^TA^{-1}u}\)。我们分析其计算复杂度：
- \(u^Tv\) 的计算复杂度是 \(O(n)\)，因为它是两个长度为 \(n\) 的向量的点积。
- 分母 \(1 - v^TA^{-1}u\) 是个数，因为 \(v^TA^{-1}u\) 是两个向量的点积。
- 分子 \(A^{-1}uv^TA^{-1}\) 的计算复杂度为 \(O(n)\)，因为它涉及两次向量-矩阵乘法和一次向量-向量外积。
4、
\[\begin{align*} MM^{-1} & = (A - uv^T)(A^{-1} + \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 - v^TA^{-1}u}) \\ & = AA^{-1} - uv^TA^{-1} + \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}uv^T - uv^TA^{-1}uv^TA^{-1}}{1 - v^TA^{-1}u} \\ & = I - uv^T(I + auv^T) + \frac{(I + auv^T)uv^T(I + auv^T)uv^T - uv^T(I + auv^T)uv^T(I + auv^T)}{1 - v^T(I + auv^T)u} \\ & = I \end{align*} \]2
\(P_n(x)=\frac{2n-1}{n}xP_{n-1}(x) - \frac{n-1}{n}P_{n-2}(x), p_0(x)=1, p_1(x)=x\)
1、请写出\(P_2,P_3,P_4\)表达式；
2、证明\(\int_{-1}^{1}P_i(x)*P_j(x)dx=0\)，取\(i=2,j=4\)；
3、编程写一个递归函数实现\(P_n(x)\)；
4、内积\(<u,v>\)对应到两个函数的内积为\(\int f(x)g(x)dx\)，若对\(P_n(x)\)进行归一化处理得到一组\(q_i(x), \int_{-1}^{1}q_i(x) \cdot q_j(x) = \begin{cases} 1,i=j \\ 0, 1 \neq j \end{cases}\)，证明\(f(\cdot) = \sum_{i=0}^{n-1} q_j(\cdot) \int_{-1}^{1} q_j(x)f(x)dx\)
解
1、
\[P_2(x) = \frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2} \]\[P_3(x) = \frac{5}{3}x(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}) - \frac{2}{3}x = \frac{5}{2}x^3 - \frac{2}{3}x \]\[P_4(x) = \frac{7}{4}x(\frac{5}{2}x^3 - \frac{2}{3}x)-\frac{3}{4}(\frac{3}{2}x^2- \frac{1}{2}) = \frac{35}{8}x^4 - \frac{30}{8}x^2 + \frac{3}{8} \]2、
正交多项式之间的正交性质可以表示为
\[\int_{-1}^{1} P_j(x) \cdot P_k(x)dx = 0, \qquad if \; j\neq k \]因为\(i = 2 并且j = 4\)，显然成立。
3、
在Python中，我们可以用递归函数实现 (\(P_n(x)\)) 的计算：
def legendre_polynomial(n, x):
if n == 0:
return 1
elif n == 1:
return x
else:
return ((2*n - 1) * x * legendre_polynomial(n - 1, x) - (n - 1) * legendre_polynomial(n - 2, x)) / n
4、
我们对\(P_n(x)\)进行归一化处理得到一组\(q_i(x)\)，满足\(\int_{-1}^{1}q_i(x)\cdot q_j(x)\)条件给定的值，然后将\(f(x)\)表示\(q_i(x)\)的线性组合，即\(f(x)= \sum_{i=0}^{n-1} c_iq_i(x)\)，其中\(c_i = \int_{-1}^{1}q_i(x)f(x)dx\)
现在对两边进行积分：
\[\int_{-1}^1 q_j(x)f(x)dx = \int_{-1}^1 q_j(x)(\sum_{i=0}^{n-1}c_iq_i(x))dx = \sum_{1=0}^{n-1} c_i \int_{-1}^{1} q_j(x)q_i(x)dx = c_j \]所以
\[f(x) = f(\cdot) = \sum_{i=0}^{n-1} q_j(\cdot) \int_{-1}^{1} q_j(x)f(x)dx \] 标签：两个,int,uv,frac,dx,auv,题目,TA From： https://www.cnblogs.com/wanyy-home/p/17908478.html