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前置知识

扩展欧拉定理

解法

本题幂塔是有限层的，这里与 luogu P4139 上帝与集合的正确用法 中的无限层幂塔不同，故需要在到达递归边界 \(n+1\) 时进行特殊处理，对于处理 \(\varphi(p)\) 在递归过程中等于 \(1\) 的情况两题基本一致。

回忆扩展欧拉定理中的 \(b\) 和 \(\varphi(p)\) 的关系，如果我们按照 常规的快速幂写法 会出现问题，即我们无法正确判断 \(a^b\) 在作为下一次运算的指数时和 \(\varphi(p)\) 之间的大小关系，这就需要我们额外在快速幂的过程中判断 \(a^b\) 和 \(\varphi(p)\) 之间的大小关系。

• 在这里可以使用 __int128_t 来代替实现高精度的快速幂。

另外由于本题的特殊规定 \(0^0=1\)，故需要在当 \(a=0\) 时，对 \(b\) 的奇偶性进行判断。手模几组样例，发现结论挺显然的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll __int128_t 
#define sort stable_sort 
#define endl '\n'
ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0')
    {
        if(c=='-')
        {
            f=-1;
        }
        c=getchar();
    }
    while('0'<=c&&c<='9')
    {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
ll phi(ll n)
{
    ll ans=n,i;
    for(i=2;i<=sqrtl(n);i++)//因为使用了__int128_t，为防止CE便使用了sqrtl，亦可以写成i*i<=n的形式
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)
    {
        ans=ans/n*(n-1);
    }
    return ans;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=ans*a;
            if(ans>=p)//快速幂特殊处理1
            {
                ans=ans%p+p;
            }
        }
        b>>=1;
        a=a*a;
        if(a>=p)//快速幂特殊处理2
        {
            a=a%p+p;
        }
    }
    return ans;
}
ll f(ll i,ll n,ll p,ll a)
{
    return (i==n+1||p==1)?1:qpow(a,f(i+1,n,phi(p),a),p);//对幂塔进行递归
}
int main()
{
    ll t,a,b,i,p=1000000000,ans;
    t=read();
    for(i=1;i<=t;i++)
    {
        a=read();
        b=read();
        if(a==0)
        {
            if(b%2==0)
            {
                printf("1\n");
            }
            else
            {
                printf("0\n");
            }
        }
        else
        {
            ans=f(1,b,p,a);
            if(ans<p)
            {
                printf("%lld\n",ans);//因为最后结果小于1000000000，所以可以放心大胆地当作long long输出
            }
            else
            {
                printf("...%09lld\n",ans%p);//因为最后结果小于1000000000，所以可以放心大胆地当作long long输出
            }
        }
    }
    return 0;
}