1.题目介绍

假设你正在爬楼梯。需要 \(n\) 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 \(1\) 或 \(2\) 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• \(1 <= n <= 45\)

2.题解

2.1 方法一：动态规划

思路

我们用 f(x) 表示爬到第 xxx 级台阶的方案数，考虑最后一步可能跨了一级台阶，也可能跨了两级台阶，所以我们可以列出如下式子：
f(x) = f(x - 1) + f(x - 2)
它意味着爬到第 x 级台阶的方案数是爬到第 x−1级台阶的方案数和爬到第 x−2 级台阶的方案数的和,因为每次只能爬 1 级或 2 级台阶

边界条件。我们是从第 0 级开始爬的，所以从第 0级爬到第 0 级我们可以看作只有一种方案，即 f(0)=1；
从第 0 级到第 1 级也只有一种方案，即爬一级，f(1)=1。 这两个作为边界条件就可以继续向后推导出第 n 级的正确结果。

我们不难通过转移方程和边界条件给出一个时间复杂度和空间复杂度都是 O(n) 的实现，
但是由于这里的 f(x) 只和 f(x−1)与 f(x−2) 有关，所以我们可以用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。下面的代码中给出的就是这种实现。

代码

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int p = 0, q = 0, r = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i){
            p = q;
            q = r;
            r = p+q;
        }
        return r;
    }
};

2.2 矩阵快速幂(待进一步理解)

思路

代码

2.3 通项公式

思路

是的，你的描述涉及到使用特征方程求解齐次线性递推的通项公式。这是一种常见的方法，特别是在处理斐波那契数列或类似问题时。

具体步骤如下：

代码

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = sqrt(5);
        double fibn = pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
        return (int)round(fibn / sqrt5);
    }
};

作者：力扣官方题解
链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/solutions/286022/pa-lou-ti-by-leetcode-solution/
来源：力扣（LeetCode）
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2.4 递归

思路

递归很容易递归层数过深导致时间超过限制
这里最巧妙的一点是用数组记录每层楼梯到达的方法数，
当其余递归到该层的时候，就不需要再继续进行递归，直接返回递归的方法数即可
用空间换时间

代码

class Solution {
public:
    int stair[46]; // 记录每层的种类数
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1 || n == 2) {
            stair[n] = n;
            return stair[n];
        }
        stair[n] += stair[n-1] ? stair[n-1] : climbStairs(n-1);
        stair[n] += stair[n-2] ? stair[n-2] : climbStairs(n-2);
        return stair[n];
    }
};