CMO 2023 P1 解题报告

\zihao{4} \textbf{Problem:} \large 求最小的实数 $\lambda$，使得对任意正整数 $n$，存在正整数 $x_1, x_2, \dots, x_{2023}$，满足 $n = x_1 x_2 \dots x_{2023}$， 且对于 $i \in \{1, 2, \dots, 2023\}$，要么 $x_i$ 为素数，要么 $x_i \le n^{\lambda}$。\\ \zihao{4} \textbf{Solution:} \large 当 $n = 2^{2024}$ 时，最优方案为 $\{ 4, 2, \dots, 2 \}$，$\lambda$ 取到最大值 $\frac{1}{1012}$，下面使用第二数学归纳法证明该结论： 将正整数 $n$ 表示为它的唯一分解形式 $n = \prod p_i^{{\alpha}_i}$，其中 $p_i$ 为素数，记 $q_n = \sum{\alpha}_i$， 定义 $S_k = \{ n \, \vert \, q_n = k, n \in \mathbb{Z}\}$。 对于 $n \in (S_1 \cup S_2 \dots \cup S_{2023})$，易知存在一种方案使得所有 $x_i$ 为 $1$ 或为素数，所以此时 $\lambda = 0 < \frac{1}{1012}$，原命题成立。 假设对于所有 $n \in S_k, \, k \ge 2023$ 原命题成立，记此时的最优方案为 $\{ t_1, t_2, \dots, t_{2023} \}$，且 $\forall 1 \le i \le 2022, \, i \in \mathbb{Z}, \, t_i \le t_{i +1}$。那么对于所有 $n \in S_{k + 1}$，记 $a$ 为 $n$ 的最小质因子，易证 $a \le n ^ {\frac{1}{k + 1}}$， 此时最优方案为 $\{ t_1 \times a, t_2, \dots, t_{2023} \}$，则易得： $$t_1 \times a \le a \times \left(\frac{n}{a}\right)^{\frac{1}{2023}} = a^{\frac{2022}{2023}} \times n^{\frac{1}{2023}} \le n^{\frac{k + 2023}{2023(k + 1)}}$$ 又由 $\frac{k + 2023}{2023(k + 1)} = \frac{1}{2023} \times (1 + \frac{2022}{k + 1}) \le \frac{1}{2023} \times (1 + \frac{2022}{2023 + 1}) \le \frac{1}{1012}$，即 $t_1 \times a \le n ^ {\frac{1}{1012}}$。 且对于 $2 \le i \le n, \, i \in \mathbb{Z}$，均有 $t_i \le \left( \frac{n}{a}\right)^{\frac{1}{1012}} < n ^ {\frac{1}{1012}}$，因此对于所有 $n \in S_{k + 1}$ 原命题成立。 综上所述，$\lambda$ 的最大值为 $\frac{1}{1012}$。