初赛题目中往往会出现将多少东西（相同或者不同），分到一些容器（相同或者不同）中，允许或者不允许空的问题，这里我们就统一总结一下。
本篇博客中，物品统一称为苹果，容器统一称为盘子，因而得名为苹果盘子问题。
1.苹果相同，盘子不同，不允许空
思路：既然苹果是相同的，盘子是不同的，那么实际上我们的问题就是，将 nn 个苹果分成 mm 堆，有多少种不同的分法。此时，问题就可以转化为排列组合中的插空问题
2.苹果相同，盘子不同，允许空
思路：既然我们解决了上面的问题1，那么允许空的问题，我们同样可以尽力往问题1上面靠。
考虑到，我们现在可以分为为空的某一堆，那么我们要向问题1转化，最大的问题就在于如果使得问题转化为不允许空。我们发现，如果提前在 m 个盘子上放一个苹果，最后再拿走，最终的结果是不变的，因而我们可以将问题转化为，有 n+m个苹果，m 个盘子，不允许空的情况。
3.苹果相同，盘子相同，不允许空
思路：由于我们要把 n 个相同的苹果放到 m 个相同的盘子中，因而我们可以理解为把 n 个相同的苹果分成 m 堆。于是，这个问题就与整数划分问题相同了。
4.苹果相同，盘子相同，允许空
思路：这个问题同样地，我们向不允许空的问题上转化。我们可以发现，同样地枚举允许几个盘子为空即可。
5.苹果不同，盘子相同，不允许空
思路：本题目可以类似于：将 n个不同的元素分成 m个集合的方案总数。
6.苹果不同，盘子相同，允许空
思路：这个问题同样的，我们考虑向问题 5转化。由于现在是允许空，也就可以分为 nn 个苹果，放到 m,m−1,m−2,…,1个盘子里面，不允许空的方案数总和，这个问题也随之解决。（或者可以理解为，枚举有几个盘子为空，然后其他的都不为空，然后求解总和即可）
7.苹果不同，盘子不同，不允许空
思路：我们通过对题目反复思考之后可以发现，这个问题实际上就是第五个问题的延伸。既然这个问题，只是第五个问题中的 盘子相同 改变为 盘子不同，所以我们只需要对这个问题进行第五个问题的求解，然后乘上盘子的全排列（即同样的放置方案，放在不同盘子里的情况）即可。
注意：本处将问题拆分为递进的两步，先求苹果的方法，再求盘子的方法，最终结果也就是这两种方案总数的乘积（乘法原理）了。
8.苹果不同，盘子不同，允许空
思路：这个问题是整体上最简单的一个题目。由于苹果不同，盘子不同，也允许为空，所以我们的每一个苹果都可以放到任意一个盘子中去。
标签：相同,不同,问题,数学,苹果,允许,盘子 From： https://www.cnblogs.com/luliusheng/p/17851674.html