函数奇偶性判断中的运算思路选择

前言

在判断函数的奇偶性时，我们一般常用的依据是由 \(f(-x)=\pm f(x)\) 来得到对应的结论，很少有人想到用其等价判断依据： \(f(-x)\pm f(x)=0\)，尤其是涉及到指数型函数或对数型函数的奇偶性的判断时，更是蕴含了许多运算技巧，以下用例子说明；

典例剖析

判断 \(f(x)=\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\) 的奇偶性，

常规解法：定义域为 \(R\) ，关于原点对称，

\(f(-x)=\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\)\(=\cfrac{\frac{1}{2^x}-1}{\frac{1}{2^x}+1}\)\(=\cfrac{\frac{1-2^x}{2^x}}{\frac{1+2^x}{2^x}}\)\(=\cfrac{1-2^x}{1+2^x}=-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)\(=-f(x)\)

则 \(f(-x)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\) 为奇函数；

快捷解法：定义域为 \(R\) ，关于原点对称，

且有 \(f(-x)\)\(=\)\(\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\)\(=\)\(\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}\)\(=\)\(\cfrac{1-2^x}{1+2^x}\)\(=\)\(-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)\(=\)\(-f(x)\)，

则 \(f(-x)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\) 为奇函数；

【解后反思】：遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时，乘法比除法快；

已知定义域为 \(R\) 的函数 \(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，判断函数 \(f(x)\) 的奇偶性；

分析：先求定义域，令 \(\sqrt{x^2+1}-x>0\)，可得到 \(x\in R\)，^[1]

常规解法：采用 \(f(-x)=-f(x)\) 来判断，变形的难度很大；

\(f(-x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)=\ln(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\) ^[2]

\(=\ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}=-\ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)

即函数\(f(x)\)为奇函数；

快捷解法：采用 \(f(-x)+f(x)=0\) 来判断，充分利用了对数的运算性质，变形的难度很小；

由于\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，则\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，

即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；

【解后反思】：虽然说 \(f(-x)=-f(x)\) 和 \(f(-x)+f(x)=0\) 是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；

已知函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，判断其奇偶性；

分析：同上例，可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数；

对应练习

判断函数 \(f(x)=\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}\) 的奇偶性；

提示：利用利用 \(f(-x)+f(x)=0\)判断；

解析：令 \(\cfrac{x-1}{x+1}>0\)，解得，\(-1<x<1\)，故定义域关于原点对称，

\(f(x)+f(-x)\)\(=\)\(\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}\)\(+\)\(\lg{\cfrac{-x-1}{-x+1}}\)\(=\)\(\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}\)\(+\)\(\lg{\cfrac{x+1}{x-1}}\)

\(=\)\(\lg\left({\cfrac{x-1}{x+1}}\cdot{\cfrac{-x-1}{-x+1}}\right)\)\(=\)\(\lg 1\)\(=\)\(0\)

则 \(f(-x)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\) 为奇函数；