从低维空间到高维空间

前言

我们通常接触到的维度是 \(1\sim3\) 维，我们的认知大部分都是从这些维度得到的，虽然我们常常会想象高维空间的事物，但是难免有一些不同之处。我们理解一个事物，通常要转换为图像，但是高维空间的事物显然我们无法在脑海中形成图像，只能用数学来解释。

正文

先放结论：在极高维度下，球的体积几乎全集中在外壳上。

证明如下：

对于一个二维的球（圆），假设它外半径为 \(R\)，内半径为 \(r\)，显然它的体积（面积）为 \(R^2\pi\)，外壳体积（面积）为 \((R^2-r^2)\pi\)，外壳体积（面积）占总体积（面积）的 \(\dfrac{R^2-r^2}{R^2}\)。

把这个球扩展到三维，假设上图为它的剖面，那么它的体积为 \(\dfrac{4}{3}R^3\pi\)，外壳体积为 \(\dfrac{4}{3}(R^3-r^3)\pi\)，外壳体积占总体积的 \(\dfrac{R^3-r^3}{R^3}\)。

再把这个球扩展到四维，它的体积为 \(\dfrac{1}{2}R^4\pi^2\)，外壳体积为 \(\dfrac{1}{2}(R^4-r^4)\pi^2\)，外壳体积占总体积的 \(\dfrac{R^4-r^4}{R^4}\)。

至此，可以得出结论，对于一个维度为 \(n\)，外半径为 \(R\)，内半径为 \(r\) 的球，它的外壳体积占总体积的 \(\dfrac{R^n-r^n}{R^n}\)。

显然，\(n\) 越大，只要 \(R>r\)，\(R^n-r^n\) 会快速趋近于 \(R^n\)，外壳的体积占总体积的比值趋近于 \(1\)。

然后通过这个结论，又可以引出一个结论：

• 在极高维度下，球的体积与恰好容纳它的正方体的比值趋近于 \(0\)。

用同样的方法，还可以得到：

• 在极高维度下，物体的体积几乎全集中在外壳上。

这也许违背直觉，但从数学的角度看，这才是真实情况。