概率和统计的MATLAB指令

1、描述性统计分析

      描述性统计分析函数标准用法都是对列状数据进行操作。

mean(X)：当X为向量，返回向量的均值；当X为矩阵，返回矩阵的每列元素均值构成的行向量。
min,max,sort,mean,median,std,var,sum,prod,cumsum,sumprod等函数用法与mean类似。
cov(X,Y):这里X，Y为向量，分别代表一个样本，求得样本的协方差。
cov(X):这里X为矩阵，将各列看成一个样本，求得样本协方差矩阵。corrcoef用法与cov类似，求得相关系数。
[Y,I]=sort(X):当X为向量，Y返回X的升序排列，I返回Y各元素原来的编址，即Y=X（I）；当X为矩阵，分别对各列排序。
Y=prctile(X,p)：当X为向量，Y返回X的p%上分位数；当X为矩阵，分别求各列的上分位数。
trimmean(X,p)：剔除上下各（p/2）%数据以后的均值。

例如：

>> data=[11 57 291; 13 54 278;10 66 253; 9 46 307; 16 75 244;15 70 256; 8 40 310]

data =

    11    57   291
    13    54   278
    10    66   253
     9    46   307
    16    75   244
    15    70   256
     8    40   310

>> % 注意mean和median的区别
>> mean(data),median(data)

ans =

   11.7143   58.2857  277.0000

ans =

    11    57   278

>> % 注意var是std的平方
>> std(data),sqrt(var(data))

ans =

    3.0394   12.7895   26.7457

ans =

    3.0394   12.7895   26.7457

>> % 注意sum与cumsum不同
>> sum(data),cumsum(data)

ans =

          82         408        1939

ans =

          11          57         291
          24         111         569
          34         177         822
          43         223        1129
          59         298        1373
          74         368        1629
          82         408        1939

>> % 将三列看成三个随机变量
>> corrcoef(data)

ans =

    1.0000    0.8299   -0.7832
    0.8299    1.0000   -0.9633
   -0.7832   -0.9633    1.0000

>> % 排序
>> [Y,I]=sort(data)

Y =

     8    40   244
     9    46   253
    10    54   256
    11    57   278
    13    66   291
    15    70   307
    16    75   310

I =

     7     7     5
     4     4     3
     3     2     6
     1     1     2
     2     3     1
     6     6     4
     5     5     7

>> % prctilr(data,50)等于median(data)
>> prctile(data,[25,50,100])

ans =

    9.2500   48.0000  253.7500
   11.0000   57.0000  278.0000
   16.0000   75.0000  310.0000

>> % 注意与mean的区别
>> trimmean(data,20)

ans =

   11.6000   58.6000  277.0000

2、统计图

bar(Y):作向量Y的条形图。

bar(X,Y):作向量Y相对于X的条形图。

hist(X,k)：将向量X中数据等距分为k组，并作频数直方图。k默认为10.

[N,X]=hist(Y,k): 不做图，N返回各组数据频数，X返回各组的中心位置。

boxplot(Y)：作向量Y的箱型图。

例子:

>> vdata=rand(1,100); %100个标准正态分布随机数
>> % 由于是随机数，所以每次结果都不相同
>> subplot(1,3,1);
>> % 作出5组频数直方图，如图(a)所示
>> hist(vdata,5);
>> xlabel('(a)');
>> [n,x]=hist(vdata,5)

n =

    26    18    21    17    18

x =

    0.1038    0.3021    0.5004    0.6987    0.8970

>> % 5组频率直方图，如图（b）所示
>> subplot(1,3,2);
>> bar(x,n/100)
>> xlabel('(b)')
>> % 箱型图，如图(c)
>> subplot(1,3,3);
>> boxplot(vdata);
>> xlabel('(c)')

箱型图的箱中包含了从75%上分位数到25%上分位数的数据，中间线为中位线。

3、随机数生成

R=rand(m,n)：生成区间(0,1)上均匀分布的m行n列随机矩阵。

R=randn(m,n)：生成标准正态分布N(0,1)的m行n列随机矩阵。

P=randperm(N): 生成1,2，…,N的一个随机排列。

      实际上，计算机生成的是伪随机数，其生成机制由随机种子控制。rand和randn是最基本的随机数产生函数，他们允许用户自己设置随机种子。若将随机种子设为特定值，就可以是随机模拟称为可再现的。例如：

>> rand('state',1)
>> randperm(5)

总是产生42513。另一方面，若将种子设置为系统时间

>> rand('state',sum(1000*clock))

则几乎可以得到真正的随机实验。

4、随机变量模拟

R=random(sist,p1,p2,…,m,n): 生成以p1,p2,…为参数的m行n列dist类分布随机数矩阵。dist是表示分布类型字符串。

R=unidrnd(N,m,n)：生成1,2，…，N的等概率m行n列随机矩阵。

R=binornd(k,p,m,n)：生成参数为k，p的m行n列二项分布随机数矩阵。

R=unifrnd(a,b,m,n)：生成[a,b]区间上的连续型均匀分布m行n列随机数矩阵。

R=normrnd(mu,sigma,m,n)：生成均值为μ，均方差为σ的m行n列正态分布随机数矩阵。

R=mvnrnd(mu,sigma,m)：生成n维正态分布数据这里μ为n维均值向量，σ为n阶协方差矩阵（它必须是正定的），R为m*n矩阵，每行代表一个随机数。

注：通用随机数生成函数random可适用的分布类型包括：’discrete uniform’（离散均匀分布），’binpmial’（二项分布），’normal’（正态分布）,’poisson’（Poisson分布），’chi-square’（χ²分布）,’t’（t分布），’f’(F 分布),’geometric’(几何分布),’hypergeometric’（超几何分布），’exponential’（指数分布），’gamma’（Γ分布），’weibull’（Weibull分布）等。

5、概率函数

y=pdf(dist,x,p1,p2,…)：返回以p1,p2,…为参数的m行n列dist分布概率函数（分布率或密度函数）在x处的值。dist是表示分布类型的字符串，可适用的分布类型类似于random。

y=cdf(dist,x,p1,p2,…)：返回以p1,p2,…为参数的m行n列dist类分布累计概率函数(即分布函数)在x处的值。dist是表示分布类型的字符串，可适用的分布类型类似于random。

y=icdf(dist,x,p1,p2,…)：返回以p1,p2,…为参数的m行n列dist类分布函数（即下分位数）在x处的值，介于0~1。dist是表示分布类型的字符串，可适用的分布类型类似于random。

y=normpdf(x,mu,sigma)：返回参数为μ和σ的正态分布密度函数在x处的值。

p=normcdf(x,mu,sigma)：正态分布函数值。

x=norminv(p,mu,sigma)：normedf的逆函数，即p下分位。

例如：

>> a=normpdf(90,80,10)-normpdf(70,80,10)

a =

     0

>> b=normcdf(90,80,10)-normcdf(70,80,10)

b =

    0.6827

>> p=(1-b)/2;
>> c=norminv(p,80,10)

c =

    70

>> d=norminv(1-p,80,10)

d =

    90

>> pdf('normal',90,80,10)

ans =

    0.0242

>> p=cdf('normal',90,80,10)

p =

    0.8413

>> icdf('normal',p,80,10)

ans =

    90

>> icdf('t',0.95,20) % 自由度为20的t分布95%下分位数

ans =

    1.7247

6、统计推断

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha):正态总体N(μ,σ²)参数估计。求得列状样本数据x的点估计μ=muhat和σ=sigmahat，以及相应的100(1-α)%置信区间muci和sigmaci。α的默认值为0.05。

[h,sig]=ttest(x,m,alpha,tail):正态总体N均值t检验。检验列状样本数据x的均值是否为m；α为显著性水平（默认值0.05）；参数tail为0表示双边检验(H1:μ≠μ0)(默认值)，1表示右边检验(H1:μ>μ0),-1表示左边检验(H1:μ<μ0);h返回1表示拒绝H0，返回0表示接受H0；sig返回临界值拒绝概率，sig<α时，h=1。

[p,h]=ranksum(x,y):两个总体一致性的Wilcoxon秩和检验。p返回列状样本数据x和y分布相同的显著性概率。p<0.05时，h=1（拒绝H0）。

例如：

>> x=randn(200,1);
>> [a,b,aci,bci]=normfit(x)

a =

    0.0252

b =

    1.0883

aci =

   -0.1265
    0.1769

bci =

    0.9911
    1.2068

>> [h,sig]=ttest(x,0) % 检验均值是否为0

h =

     0

sig =

    0.7436

>> y=normrnd(0,1,1000,1); % 生成1000个正态N(0,1)随机数
>> [p,h]=ranksum(x,y) %检验x与y分布是否相同

p =

    0.6298

h =

     0

7、概率和统计相关指令

表1 概率统计主要MATLAB命令